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すし次郎　(2002/09/11(Wed) 11:58:26)

はやりに便乗して、パラドックスシリーズをもう一問お付き合いください。

司会者
「あなたの目の前にＡＢふたつの箱があります。中にはどちらも現金が入っています。
一方の箱には、他方の箱の２倍の現金が入っています。
つまり、ふたつの箱の金額の比は、２対１ということです。
さあ、好きな方をお選びください。中の現金を差し上げます」

あなたは、Ａの箱を選択しました。
中を開けると、１万円が入っていました。

司会者
「さて、ここであなたにもう一度チャンスを差し上げます。
Ａのままでもいいし、Ｂに変更しても構いません。さて、どういたしますか」

ここであなたは考えました。
「金額の比は２対１なのだから、Ｂの箱は５０００円か２万円のどちらかだ。
したがって、Ｂの箱の中身の期待値は、
(5000円＋20000円)／2＝12500円だな。
うん、期待値がアップするのだから取り替えた方がよさそうだ」

あなた「Ｂに取り替えることにします」
司会者「ファイナルアンサー？」

さて、あなたのこの考えは正しいでしょうか。





数学的には期待値１２５００円かもしれませんが、現実問題２択、５０００円か２００００円か。
期待度は２分の１で増えるか減るかだと思います。
某番組で７５０万円までいき、答えがまったくわからず神頼み（しかも４択）で１０００万にチャレンジするか、失敗して１００万円になるかといったら明らかに７５０万のままが良いと思いますが。

話を元に戻して、自分が今１万円を手にしたら、もし当たれば１万円アップ、はずれれば５千円ダウン。これは当たったほうのメリットがリスクを上回るので交換したいですねぇ。


１００倍だったら迷わず取り替えるんですけど,２倍なので迷ってから取り替えます。

箱を開けて１００００円入っていたらもう一方の箱の期待値は１２５００円で間違い無いような気がしますけど。


プラス１万円になるか、マイナス５０００円になるかなので、
期待値は７５００円じゃないかな〜？？？
よって、やらない方がマシ！


期待値は一万円にならないとおかしいような気がします。
ＡをＢに取り換えた方がいいというのであれば、
最初にＢを選んでいても全く同じ理屈でＡに取り換えた方がいいって事になりますよね？
その理屈だと最初から逆を選んでしかも取り換えられないって事と同等なのですから、取り換えて得するっていう考えが不自然な気がします…

でも期待値は12500円になるんだよなー
不思議だ…



　この期待値の求め方には今持っているという一万円が欠けているから計算がおかしくなっているのではないでしょうか？Ｂの箱にはいっている金額は５０００円か２万円。
　しかし、(５０００+２００００）/２＝１２５００ではなく、
　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　５０００しか入ってないとしたら（５０００−１００００＝−５０００）
　　２００００入っているとしたら（２００００−１００００＝＋１００００）
　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　（−５０００＋１００００＝５０００）
　　　となって、今持っている１万円より減ってしまうので取り替えない方が良いということではないでしょうか？（＾＾）


まず、取り替える場合
Ａの箱には、一万円が入ってる事が、すでに分かったが、Ｂは不明。
Ａの箱が、当たりならばＢの箱には、５０００円しか入ってないことになる。
したがって、Ａ一万円Ｂ５０００円の場合
期待値　５０００円×２÷（２００００−５０００）となり、期待値が１％以下に下がってしまうので、取り替えないほうがいい。
Ｂが当たりならば、２００００÷５０００＝４％で、取り替えたほうがいい。
取り替えない場合
１００００×２÷５０００＝４％で、取り替えるほうがいい。


どもども

期待値の計算は、ちょっと違うと思いますよ。

（＋１００００円）×（１／２）＋（−５０００円）×（１／２）
＝＋２５００円

つまり１回やるごとに２５００円儲かる計算です。

やったほうが儲かるようですので、私なら取り替えますね。(^―^)


　あー、そっか、そうですね。じゃあ、取り替えたほうがとくなんでしょうか。。。？（−〜−）


えー、考えれば考えるほど頭の痛くなる問題ですが、
ちょっと混乱しているところもあるようなので、
取り敢えず、どこがパラドックスなのかを説明させてください。

この選択者が考えた期待値の計算式が仮に正しいとするなら、
ＡＢどちらを選ぼうと、また金額がいくらであろうと、
もう一方に取り替えた方が、常に1.25倍おトクということになってしまいます。
つまり最初にＡを選んだとして、中を開けて金額を確認する前に、
Ｂに替えた方がよいことになってしまい、これは明らかに矛盾です。

しかし、一見すると期待値の算出方法が誤っているようには見えない・・・。
この辺がこの問題のポイントになろうかと思います。
つまり、Ｂの箱に替えるべきかどうかというクイズではなく、
この選択者の考え方のどこに間違いがあるかということです。



　まず箱を開ける前にそれぞれの箱に入っている金額をＸ、２Ｘとすると、まずＸの箱を開けた場合もう一方の箱は２Ｘ、つぎに２Ｘの箱を開けた場合もう一方の箱はＸになりこの時のもう一方の箱の金額の期待値は、
（Ｘ＋２Ｘ）/２＝３Ｘ/２・・・・この式をＡとする
となり、はじめに選ぶときの期待値と同じになります。
　
　でこの場合Ｘの箱を開けた場合、もう一方の箱の期待値は
（Ｘ/２＋２Ｘ）/２＝５Ｘ/４・・・この式をＢとする
となると言うことですが、確かに一方の箱を開けてＸの値が確定したらこうなると思いますが、開けなければＸの値自体が変動するためこうは言えないと思います。
例えば金額が、Ｘと２Ｘ、あるいは、Ｘ/２とＸ（言いかえるとＹと２Ｙ）、とした場合これらを混ぜて期待値を計算するのはおかしいですよね、だから箱の中の絶対的な金額が分からない場合Ｂのような計算は意味がないと思います。

これがあっているのか、すし次郎さん問題に対するの答えになっているのか分かりませんが一応、自己満足と言うことで。


期待値を計算すると
ＢがＡの1.25倍、ＡがＢの1.25倍となるから、パラドックスだということですね。

入っている金額をＸ、２Ｘとした場合、
交換することによって、下の２つの可能性が1/2ずつである。
Ｘ→２Ｘ　Ｘの得
２Ｘ→Ｘ　Ｘの損
よって±０。
つまり、変えても変えなくても同じ。というのはどうでしょう。




※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。