３０分証明クイズ

こっくん　(2003/02/10(Mon) 17:41:59)

いい問題を思いつきました。
しかし多少の時間が必要かもしれないので
制限時間を３０分にします。
では頑張ってください。

問題

整数で、全ての桁の数の和が３で割り切れると全体の数字も３で割り切れる。
というのはみなさんご存知ですか？
（簡単に言うと３７５という数字は全ての桁の和が、３+７+５で１５。
　　これは３で割れるので、全体も３７５÷３＝１２５で割り切れるということ）
このことを証明するには、普通は方程式を使うのですが、方程式を使わずに、
しかも、小学校３・４年生くらいにもわかるようにこのことを証明しなさい。

注：答えるときはそのまま証明文を書いていただければ結構です。

タイム

１分以内　　数学オリンピックに出てもおかしくないでしょう。
３分以内　　３分と読み違えて頑張っちゃった？
５分以内　　いよっ！証明の天才！
10分以内　　数学は「５」でしたか？
20分以内　　ちょうど僕と同じですね。
30分以内　　すべりこみセーフ。
45分以内　　やっぱ30分は短い？
１時間以内　証明とか苦手？
３時間以内　今回のところは大目に見てやる。
３時間以上　なんかヤバイこと考えてだでしょ（爆）
１週間以上　おい・・・マジかよ・・・


正解発表　２月１３日。（一週間より少ないじゃん）


わかっちゃいました。
数学オリンピックにでてもおかしくないそうです。

でも、実際のところ合宿で代表落ちしてます。
リベンジできたー。わーいわーい。

これって答え書いていいの？


僕もすぐ分かりました。（一分以内）
一応、証明は書きません。



方程式をつかわなくてもできるけど。
小学生にわかるかなあ。

文章かくのめんどうなので、省略。


答えは書いてもらって結構です。


sugarです。
30分くらい考えましたが、エレガントな答えが見つかりませんでした。
くやしい。


じゃあ…

小学生でも

Ａ＊（Ｂ＋Ｃ）＝Ａ＊Ｂ＋Ａ＊Ｃ　の分配法則
ＡＢＣ（←Ａ百Ｂ十Ｃのこととします。）＝１００＊Ａ＋１０＊Ｂ＋Ｃ　とかけること
３＊Ａ＋Ｂ　が３で割り切れるかどうかは、Ｂが３で割り切れるかどうかと同じ

ということは分かるものとします。まあ分配法則は表現の問題なんですけどね。

ＡＢＣ＝１００＊Ａ＋１０＊Ｂ＋Ｃ
　　　＝（９９＋１）＊Ａ＋（９＋１）＊Ｂ＋Ｃ
　　　＝９９＊Ａ＋９＊Ｂ＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ
　　　＝３＊（３３＊Ａ＋３＊Ｂ）＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ

よって　「Ａ＋Ｂ＋Ｃが３で割り切れるかどうか」と「ＡＢＣが３で割り切れるかどうか」は同じこと。



15歳の人が千歳飴食べてて、『何で食べてんの？普通は、七五三のちっちゃい子が食べるんじゃないの？』って聞いたら、
『7＋5＋3＝15だからいいの。』

って感じですか？


イさんの答えなんですが、３＊（３３＊A＋３＊B）は３で割り切れる証明になりますが
A+B+Cの部分は３で割れる証明にはならないと思うのですが・・・・・。
違ったらごめんなさい。

適当に1587という数字を例にとって説明しようと思います。
1587＝1000＋500＋80＋7

1000÷3＝333　余り1
500÷3＝167　 余り2
80÷3＝26　　 余り2
7÷3＝2　　　 余り1

そして、
1÷3＝0　　 　余り1
5÷3＝1　　　 余り2
8÷3＝2　　　 余り2
7÷3＝2　　　 余り1

つまり、一の位に桁数を落としても余りは全く同じになります。
この余り同士を足すと3で割り切れるので最初の数は3の倍数だとわかります。

＞A+B+Cの部分は３で割れる証明にはならないと思うのですが・・・・・。
その通りです。その指摘は間違っていません。

示したかったのは
「Ａ＋Ｂ＋Ｃが３で割り切れるかどうか」と「ＡＢＣが３で割り切れるかどうか」は同じこと。
です。

ＡＢＣ＝３＊（３３＊Ａ＋３＊Ｂ）＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ
から
Ａ＋Ｂ＋Ｃが３で割れるならばＡＢＣも３で割れる。
ＡＢＣが３で割れるならばＡ＋Ｂ＋Ｃも３で割れる。
が言えますよね。
わかりましたか？＞ジャンピングDDT

ＢＢＱさんのいうことを示したのが
１００＊Ａ＝（９９＋１）＊Ａ＝９９＊Ａ＋Ａ
ですね。

ＢＢＱさんのように導入して、↑のように説明するのが小学生にはわかりやすいかもしれないですね。

言葉で言うなら…
１００＊Ａが３で割り切れるかを考えます。
１００個のＡは、９９個のＡと１個のＡを足したものだよね。
じゃあ９９＊Ａ＋Ａが３で割り切れるかだよね。
９９＊Ａは３で割り切れるから、あとはＡが３で割り切れるかどうかと同じことなんだよね…

って感じかな。それを一気にやればいい。


わたしもだいたいBBQさんと同じなんですけど、小学生にわかるかなあ。
わたしは、
３けたで、500だったら3で割り切れる300をひいて、200にして、
400だったら300ひいて100にしてとかも考えたけど、よけい複雑になるんだよね。

イさんのときかたは、方程式のときかたとおんなじですよね。
（絶対こっちの方がわかりやすいけど）

わたしは、小学校のときは、むりやりおぼえさせられました。
3の倍数はいいけど、7の倍数なんて、わけわからなかった。



＞イさんのときかたは、方程式のときかたとおんなじですよね。

あー、そうなんだ。
このこと（９９とか９を使うやつ）を方程式の解き方と呼んでたんですね。
それなら、分かってないことになりますね。
んーやっぱ数学オリンピックは無理だったかー。

　　　１を３で割ると　　　０　余り　１
　　１０を３で割ると　　　３　余り　１
　１００を３で割ると　　３３　余り　１

同様に

　　　２　→　　　０　余り　２
　　２０　→　　　６　余り　２
　２００　→　　６６　余り　２

　　　４　→　　　１　余り　１
　　４０　→　　１３　余り　１
　４００　→　１３３　余り　１

　　　５　→　　　１　余り　２
　　５０　→　　１６　余り　２
　５００　→　１６６　余り　２

となります。そこで仮に、

　　　４　→　　　０　余り　４　　　
　　４０　→　　１２　余り　４
　４００　→　１３２　余り　４

　　　５　→　　　０　余り　５
　　５０　→　　１５　余り　５
　５００　→　１６５　余り　５

とすると各位の数字がそのまま余りになる事がわかります。

つまり　８７５４　は

８０００　→　２６６６　余り　２　→　２６６４　余り　８
　７００　→　　２３３　余り　１　→　　２３１　余り　７
　　５０　→　　　１６　余り　２　→　　　１５　余り　５
　　　４　→　　　　１　余り　１　→　　　　０　余り　４

となり

（８＋７＋５＋４）÷３　→　２４÷３　→　８　余り　０

これで理解してもらえないかなぁ・・。

待つのが面倒くさくなったので正解発表。
chakoriさんのが僕の考えた答えでした。
他にもアイディア募集中！
あとこれからも僕の瞬殺クイズをヨロシク！


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。