７台のエレベーター

ｎａｎａ　(2003/05/01(Thu) 00:25:46)

大型ショッピングモールが完成しました。敷地面積が広い分、高さは７階建て。
エレベーターも７台設置されました。しかし、このエレベーター。
ひとつの階にたまってしまうことの無いよう、ある工夫がされていました。
それは、エレベーターひとつひとつ、決めれらた行き先があるのです。
エレベーターひとつは、３フロアしか行くことができません。
それでもすべての階に行けるようなフロアの組み合わせを考えてください。

説明がわかりにくいと思いますので、ヒントとして。
エレベーター１・・・１階、２階、３階
エレベーター２・・・１階、４階、５階

エレベーター３〜７のフロアの組み合わせを考えてみてください。


123
145
167
246
257
347
356
ということですか？


＞イさん正解です。
数学ではこれをユークリッド幾何とか言うそうです。


この問題、面白かったんで、ちょっと続けさせて。

問い２：条件は全く同じで、高さだけ６階建てのビルだったとすると、最低いくつのエレベータが必要でしょうか。
（ルール：念のため、説明）
♪　一つのエレベータは、３フロアしか行くことができない。
♪　エレベータは乗り換えないで、どこの階からどこの階にでも行くことができるようにする。
♪がないと、女性っぽくないみたいなんで、つけてみましたw。



一つの数字は最低でも３回でてこないといけないから…
数字は３×６＝最低でも１８個でてこないといけない。
一つのエレベーターは３つの数字しか持てないから
１８÷３＝６　最低でも６台のエレベーターが必要。

123　345　561
124　346　562

の６台。なんか作ってるとおもしろいですね。

５台とかになるとけっこうできますね。

じゃあ問題…というか疑問？です。
８台だと…どうなるんでしょうね？
１１台でできるのかな？


この問題、ひとりからしか返事が来ないのではないかと思いながらも、ひとりからは必ず来ると信じてだしました。予想どおりだったけど...
イさん。大正解です♪　（というよりも私の答えをイさんに確認してもらった感じ）♪　考え方も、予想どおり、私が考えていたのより全然いいです♪　もし、よろしければ、すごく長いんですけどおつきあい下さい。もちろんほかの人もＯＫです♪　（結構、♪気に入ってます）

私は、6階建てのときには、他の5階にいく道（ルート）が6×5÷2＝15本あって、一つのエレベーターで3つのルートを通れるから、15÷3＝5となるけど、これは引っかけで、偶数階では、123、145、162と必ず同じルートが2回出てくる（この場合は12で、無駄というか重複することになります）。一つの数字に対して、1回ずつ無駄があるとすると無駄のルートの数は、6÷2＝3。結局、15＋3＝18となって、最低18÷3＝6台必要。このあと、6台でできるかどうかを考えると、イさんが書いてくれたようになります。この場合、無駄なルートは、12、34、56になります。
7階建ての場合は、ルート数が7×6÷2＝21で、123、145、167のように無駄がないので、21÷3＝7台（最低）と考えていました。
5階建ての場合は、ルート数が5×4÷2＝10で、奇数階の場合、123、145のように無駄がなさそうですが、10÷3＝3ﾉ1となって、最低4台必要で、4×3−10＝2と二つのルートが無駄になります。具体的には、123、145、245、345で、45が3回出てくるんで二つのルートが無駄。イさんの考え方だと一つの数が2回ずつでてくるから、2×5＝10、あとは、10÷3＝3ﾉ1と同じになって、4台となりすっきりしてますね。
８階建て、やってみました（イさんの考え方で）。4×8÷3＝10ﾉ2で、11台。4回ずつ出てくる数字が７こで、5回ずつ出てくる数字が１こ。123、145、167、182、246、257、347、348、356、568、678（意外となれてくると早くできます。10分くらい）
次に、偶数階は、最初から無駄があることがわかったんで、奇数階だけを考えました。イさんの考え方を使わせていただきます。奇数階を2ｎ+１としますと、一つの数字は、ｎ回出てきますよね。（例えば、３階の時１回、５階の時2回、７階の時３回ﾉ）。そうすると、ｎ×（２ｎ＋１）より３ｍ　（ｍはエレベーターの数）の方が大きいか等しくなります。
ｎ　　２ｎ＋１（階数）　　ｎ×（２ｎ＋１）　　ｍ
１　　３　　　　　　　　　３　　　　　　　　　１
２　　５　　　　　　　　　１０　　　　　　　　４
３　　７　　　　　　　　　２１　　　　　　　　７
４　　９　　　　　　　　　３６　　　　　　　　１２
５　　１１　　　　　　　　５５　　　　　　　　１９
となり、３階建て、7階建て、９階建てのときに、ｎ×（２ｎ＋１）が３の倍数なので、無駄なくエレベーターをおくことができそうです。３階建て（超簡単）、7階建てのときには証明されているので、９階建て１２台に挑戦しました。
意外と簡単に（３分くらい）できました。無駄がない方が、きれいな答えになるんでやりやすいみたいです。８階建てで１１台で、９階建てが１２台というのはちょっと不思議ですよね。
（答え）123、145、167、189、247、258、269、348、359、367、469、568
ついでに、偶数階も考える（ｎ×２ｎより３ｍが大きい）とエレベーターの数は、階数、１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１ﾉにたいして、
エレベーターの数、０、１、１、３、４、６、７、１１、１２、１７、１９ﾉ
となりそうです。

ところで最後に質問なんですけど、実際にやってみなくても、できるってことがどうにかして証明できないでしょうか。

エレベーターが４つの階にとまれたらとか、ちらっと考えてみましたが、はまりそうなんでやめました。私の頭ではこの辺が限界です。明日からのGWとそのあとにある修学旅行、おもいっきりあそびます。文章も、分かりにくかったと思いますが、読んで下さってどうもありがとうございました♪

一応、済みにしますけど。コメントよろしくおねがいします。



あーちゃんとレスしたいー。
なんだけど、時間がないのでかるーく。

８階は感動です。
最低これだけ必要って考え方はイケてると思います。

で、詳しくは後で考えるとして…
＞ところで最後に質問なんですけど、実際にやってみなくても、できるってことがどうにかして証明できないでしょうか。

これはあれですね。
できないことの証明はかんたんだけど、できることの証明は難しいってやつですね。

じゃ、河口湖に行ってきます。


イさん。読んでくださって、ありがとうございました。
済に、しときますね。


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。