ちょっと遅い年賀状
越智月久 (2004/02/10(Tue) 14:28:48)
今年の年賀状の問題。遅くなって済みません。
明けましておめでとうございます。
今年は２００４年、
２０４、２００４、２０００４……
という、２と４の間に０だけが入る数字のうち、２００４で
割り切れるものを探して下さい。もちろん最小のものは２００４。
その次は幾つでしょう。
これは休日用に出しています。暇でない人は手を付けない方が
身のためでしょう。
本間 (2004/02/10(Tue) 18:15:34)
２００４０…違うなぁ〜＾＾；
a (2004/02/10(Tue) 19:02:58)
10^n＝1002x-2
1002の倍数から2を引いたものが10の累乗になるとは思えん･･･。
ってことで解なし。w
誰か合同式とか得意な人解いて下さい。
扇風機 (2004/02/10(Tue) 21:41:40)
200000000000000000000000000000000004÷2004=99800399201596806387225548902196
（２０００溝４）
一応割り切れるハズです。
越智月久 (2004/02/13(Fri) 16:23:52)
私も上から順にわり算をして、最後に２または２０、２００が
出てくるまで繰り返したんですがねえ……どうやって解くと楽で
しょうか。誰か、スマートな解き方って知らない？
一応パソコンでやっているから、正解を出すだけなら簡単なん
ですが……
伊藤赤 (2004/02/15(Sun) 04:09:46)
私はやってみるしかないかと思います。
２００４＝３×４×１６７です。
?@2000・・・0004の各桁を加えると6なので
2000・・・0004は3で割り切れます。
?A2000・・・0004の下二桁04は4で割り切れるので
2000・・・0004は4で割り切れます。
?B2000・・・0004が167で割れるかは・・・
やってみるしかない？
おとと (2004/02/16(Mon) 09:00:09)
2000...0004 (0の個数k-1個）が 167で割り切れる
⇔2*10^k+4=0 (mod 167)
⇔2*10^k=-4 (mod 167)
⇔10^k=-2 (mod 167) (2は167と互いに素だから）
k=3のとき 明らかに解になるから、次の解をk=3+mとすると
10^(3+m)=-2 (mod 167)
⇔10^3*10^m=-2 (mod 167)
⇔-2*10^m=-2 (mod 167)
⇔10^m=1 (mod 167)
結局 mod 167 での 10の位数を求める問題。
フェルマーの小定理から 10^166=1 (mod 167) で、
求めるｍは 166の約数。
166の因数分解は 2*83だから
10^2, 10^83, 10^166を167で割ってみればいい。
10^2,10^83 ともに 167で割ってあまりが１ではなく、
求めるｍの最小は166。
よって 求めるk=169。
だから 2000....00004 の 0は 168個並ぶ。
越智月久 (2004/02/17(Tue) 12:25:38)
おととさん、スゴイ！
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
