スマートな解答求む
越智月久 (2004/02/29(Sun) 09:13:37)
答えは出ます。しかし、答えを出すまでのセンスを求めます。
スマートな解答を提出して下さい。
（１） 分数の研究をしたディオファントスという数学者。その墓石
には次のように刻まれている。彼の死んだのは何歳の時か。
ディオファントスはその一生の６分の１を少年、一生の12分の１を
青年、更にその後一生の７分の１を独身で過ごした。彼は結婚して
から５年後に子供が産まれたが、子供は彼よりも４年前に、彼の
寿命のちょうど２分の１でこの世を去った。
（２） ある牛乳屋では、７本の空き瓶を持っていくと交換に１本
サービスしてくれる。13本買うと、７本で１本もらい、残り
と合わせてもう１本、合計15本飲める訳だ。さて、私は１年
間毎日１本の牛乳を飲んでいる。今年は閏年だが、昨年は平
年なので３６５本飲んだことになる。私は最低何本の牛乳を
買ったのだろう。
ＢＢＱ (2004/02/29(Sun) 11:49:07)
(２)は、365×7/8＝321.875
小数点以下を切り上げて322本ということでどうでしょうか。
(１)はスマートな解答を考え中です。
ＢＢＱ (2004/02/29(Sun) 12:20:41)
･･･と思ったんですが、(２)はもっと前の年の空き瓶が残ってない事が前提ですよね。
そうでなければ最低０本です。
(１)は方程式を解く時に通分する必要があります。
つまり、6、12、7、2の最小公倍数84が計算に出てきます。
普通はその倍の168歳なんかいないので84歳。
カナルシスト (2004/02/29(Sun) 12:15:06)
（１）
ディオファントスの寿命をx歳とすると、
> ディオファントスはその一生の６分の１を少年、一生の12分の１を
> 青年、更にその後一生の７分の１を独身で過ごした。
彼が結婚した時の年齢は、x(1/6+1/12+1/7)=11x/28（歳）
> 彼は結婚して
> から５年後に子供が産まれたが、
子供が産まれたのは彼が11x/28+5歳の時である。
彼が死ぬのはそれから、x-(11x/28+5)=17x/28-5（年後）
> 子供は彼よりも４年前に、
子供の寿命は、17x/28-5-4=17x/28-9（歳）
> 彼の
> 寿命のちょうど２分の１でこの世を去った。
すなわち、x/2=17x/28-9
x=84
彼の死んだのは84歳の時である。
てつや (2004/02/29(Sun) 23:08:14)
(2)
うーん、答えは313本なんですが、スマートに答えを導くのがなんとも・・・
もう少々考えて見ます。
natsu (2004/03/01(Mon) 01:38:33)
(2)おまけの数を考えてみると
最初の７本で１本おまけ、その後は６本ごとに１本のおまけ。
言いかえると、最初の７本買えばで８本飲めて、その後６本買うごとに７本飲める。
３６５＝８＋７＋７＋７＋....と考えると、
３６５＝８＋７×５１
このうち、買ったぶんは、７＋６×５１＝３１３本
（あまり、スマートじゃないかも）
ちなみに、１５本のばあいは、
１５＝８＋７×１だから、
７＋６×１＝１３本 かえばいい。
逆に、X本買ったら何本飲めるかというのは、もっと簡単。最初は、こっちから考えた。
Int（（X-1）÷６）＋X となる。（Intは、割算の商）
３１３本の場合は、
Int((313-1)÷6)+313=365
natsu (2004/03/01(Mon) 01:55:31)
(1)は、BBQさんの答えがすばらしいです。ただ、もしかしたら、168才やそれ以上生きる人もいるかもしれないので（笑）、
独身時代が、1/6+1/12+1/7=33/84=11/28
結婚したあと、1-11/28=17/28
これよりも９年短くいきた息子が1/2にあたるから、
9÷(17/28-1/2)=84才
カナルシストさんの解き方を小学生風に解いただけだけど。
/ (2004/03/01(Mon) 14:53:01)
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ＢＢＱ (2004/03/01(Mon) 16:07:49)
あっ(１)を間違えてました。一本取られました(←取られてないっての)。
(１)を改めて回答。全然スマートではないと思いますが。
牛乳を1本買ったとき実際に飲むことができる本数は、
1＋1/7＋1/49＋1/343＋･･･
＝??(n=1,∞)(1/7)^(n-1)
＝7/6
x本買ったとすると
7x/6≧365
x≧312.85･･･
よって最低313本買った、ということでどうでしょうか。
吉村 (2004/03/01(Mon) 16:58:27)
［Re２］［Re６］で前の年のが残ってていいのなら、解答も、それ以前に買った分を入れなければならないように思います。
問題の「１３本買うと」以下の説明が余計なことで、７本飲めば１本ただになるのだから、飲んだ本数３６５を７で割ればいい。すると、５２余り１なので、ただでもらった分は５２本、３６５−５２＝３１３で、皆さんの答えが正解だと思います。この説明はかなりいい線行ってる解答でしょ。
黒ラベル (2004/03/01(Mon) 19:19:57)
2は
タダで貰った空き瓶でもまた貰えるのだから。
313-7=306
更に、その７本も交換して
306-1=305本。
natsu (2004/03/01(Mon) 22:22:41)
BBQさん、吉村さんの回答はすっきりしているんですが、この問題のすっきりしていないところは、６本ではなくて、最初の７本を買わないとおまけがもらえないというところなんです。だから、ＢＢＱさんや吉村さんのやりかたは、ちょっとだけ違うんですよね。
買った本数 飲める本数 を表にすると、
１ １
２ ２
６ ６
７ ８
１２ １３
１３ １５
となり、買った本数７、１３、１９ﾉﾉ飲める本数８、１５、２２ﾉとなるときにおまけが一つずつ増えます。
たとえば、BBQさんのやり方で、３６５本ではなくて、７本飲むには何本買わないといけないかという問題を解いてみると、
7x/6≧7で、
x≧6となり、６本買えば、７本飲めるということになり、おかしなことになります。7x/6＞7とこの不等号に変えると正しくなるのですが、どうして正しくなるのか私にはよくわかりません。
私のやり方を無理矢理式で書くと、7(x-7)/6+8≧365
X≧313となります。（もう少し、きれいな式に直すと7(x-1)/6+1≧365）
同様に吉村さんのやり方もちょっと違ってて、３６５÷７ではなくて、（３６５−１）÷７＝52本のおまけということで、
３６５−５２＝３１３本というのが正解です。どちらでも、同じように見えますが、問題が３６４本だとすると答えが違ってきます。（このやり方は、わかりやすいかも）
ただし、もしも、他の人からビンを借りてきて、後で返すということができるのであれば（もしかするとそうなのかも）、ＢＢＱさんや吉村さんのやりかたで正解です。例えば、６本ビンを持っていたときに、人から１本ビンを借りて、飲んだ後に返せば、６本買って、７本飲めます。
ただ、この場合は、３６５日とすると引っかけにならない（どちらにしても答えが同じ）ので、問題としては３６４日としたほうが、きれいかな。
もうひとつおまけとして、もしも、去年の残りのビンが７個余った場合を考えました（８個余ることはありえないけど、７個余ることはありえますよね）。この場合は、３１３−１＝３１２本で良いことになります。私が最初に書いたやり方だと、
３６５＝１＋７×５２（最初の１本はただで、あとは、６本買うごとに１本おまけがくる。）
０＋６×５２＝３１２本
ちなみに、残りのビンが６本だったら、
３６５＝２＋７×５１＋６（最初２本のうち一本はただで、あとは、６本買うごとに１本おまけがくる。）
１＋６×５１＋６＝３１３本で、ビンがないときと同じになります。
黒ラベルさんの答えは、難しくて、よくわかりませんでした。
カナルシスト (2004/03/01(Mon) 23:13:21)
（２）
最初に7本買う。１本サービス。
つまり次のサービスは6本買えば良い。
そうなれば１本サービスが来る。
つまり次のサービスは6本買えば（以降繰り返し）
この6本買う繰り返しの回数は、
(365-7)を7で割った商すなわち、51（余り1）
この最後（51回目）の繰り返しによるサービスで1本得て
余りもなくなる。
簡単な表にすると
001 ,・・・, 007
(008),・・・, 014
・・・・・・
(358),・・・, 364
(365)
()はサービスで得たもの。
すなわち、実際に買った本数は
7+6*51=313（本）
（*は掛け算×のこと、・・・わかると思うけど念のため）
natsu (2004/03/01(Mon) 23:34:35)
カナルシスト さんの解き方は、natsuのと同じですね。
表があるから、わかりやすいです。
吉村 (2004/03/03(Wed) 07:29:11)
natsuさん、ありがとう。
ｘ本飲んだ時、買わないでもらえた本数は、
（ｘ−１）÷７
端数は無視ですね。
越智月久 (2004/03/04(Thu) 07:39:11)
皆さん、お見事です。natsuさんの解説がお見事です。
実は昨日、同じ問題で、２４０本という数値で中学入試に
出題されたのを発見しました。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
