サム・ロイドのパズル6
S.angel (2004/05/07(Fri) 19:48:11)
【チーズの問題（アレンジ）】
チーズがある。（そのチーズは立体でいう円柱の形をしているとする）
そのチーズを上（上とは、円柱でいう上側の底面のことである）の面から直線的に（ななめに切り込みが入ってもよいとする）６回適当に切る。（もちろん下まで）切ってできた断片の数が最大の時と最小の時の差はいくらか？（最小の時に、同じ場所を６回切って１回切った時のようにするのはなしとする）
おとと (2004/05/07(Fri) 22:38:47)
答 ３５．
最小時は明らかに断片数７だろうから、最大の場合を考えましょう。
チーズが 猛烈に大きいときを考えれば チーズの形状等は
断片の数に影響しませんから、空間全体を平面で切ることを考えて
差し支えありません。また、断片が多くなるためには すべての
断面が平行ではなく、また 新たな断面は すでにある断片の角を
通らないようにすることになります。
ｋ回きった後、k+１回目に切るときのことを考えます。
ｋ＋１回目の切断はいくつかの断片を２つに分けることでしょう。
ではいくつの断片を２つにわけるのか？
それを考えるには、断面をみればよいでしょう。
断面には今までに切った断面との交線がｋ本だけ通っています。
このｋ本の直線で分けられた断面上の領域の数が ２つに分かれる断片の数です。
平面内にk本の直線があるとき、いくつの領域ができるでしょうか？
答は1+1+2+3+...+k = 1+(k+1)*k/2 個です。（これについては後述 ※）
よって k+1回目に切るとき 1+(k+1)*k/2個だけ断片が増えます。
0回切ったとき 断片1個
1回切ったとき 断片2個 （1個増えた）
2回切ったとき 断片4個 （1+1個増えた）
3回切ったとき 断片8個 （1+1+2個増えた）
4回切ったとき 断片15個 （1+1+2+3個増えた）
5回切ったとき 断片26個 （1+1+2+3+4個増えた）
6回切ったとき 断片42個 （1+1+2+3+4+5個増えた）
つまり 最大で42個。7個との差は 35個。
※ 平面上にk本の直線があって 平面をいくつかの領域に分けているとします。
領域は最大でいくつできるでしょうか？
直線がk-1本引いてあるのちに、k本目を付け足すことを考えると、
k本面は なるべく 他の直線と平行にならないように、すでにある領域の
角をとおらないようにすることになります。
つまり、k本目の直線は 他のk-1個の直線と交わりますから、
k個の領域を通ることになり、k個の領域を２つにわけます。
結局、k本目を描くと 領域がｋ個増えます。
k=0なら 領域は 平面全体だけで、領域数1個。
k=1のときは １つ増えて 1+1=2個
k=2のときは ２つ増えて 1+1+2=4個
。。。
k本のときは 1+1+2+...+k=1+(k+1)*k/2個
/ (2004/05/07(Fri) 22:45:27)
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じゅうべえ (2004/05/08(Sat) 04:34:34)
最小1 かな？
斜めに切って端にあわせるとして
最大16 かな？
じゅうべえ (2004/05/13(Thu) 02:54:08)
解説頼む〜age
S.angel (2004/05/13(Thu) 20:32:27)
すいません、忘れてました。おととさん正解です。本来の問題の答えにはもっと簡単に書いてあったんですが、詳しく説明ありがとうございます。
というわけで、済！
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
