相思相愛！

イ　(2004/06/01(Tue) 19:44:46)

このクラスには男の子が７人、女の子が４人います。
男の子はそれぞれ女の子の中に一人だけ好きな人がいて、
女の子はそれぞれ男の子の中に一人だけ好きな人がいます。

このとき、相思相愛のカップルは平均で何組いるでしょうか？
（数学の言葉で言えば、期待値を求めるということです。）

現実的ではありませんが、好きな人はランダムだとします。
すぐにわかる人もいると思うけど…
かっこいい解き方・分かりやすい解き方を探していく感じで。

３対３とかで考えてみてもいいですね。
で、解けなくても考えたらどんどん書いてください！
わかんないのを、みんなでちょっとずつ解いていく感じも楽しいですよ。


ちなみに期待値というのは…
「確率×それ」の和、で計算できて。

コインを２回振ったときに表のでる回数の期待値は？
といわれたら…
表が２回：１／４
表が１回：１／２
表が０回：１／４
ですから…

（１／４）×２　＋　（１／２）×１　＋　（１／４）×０　＝１
で、１回となるんですね。

【訂正します。6/4】
×「実はコインを投げるみたいに、一つ一つがそれぞれ関係なく起こる（つまり一回目が表でも裏でも、二回目の表裏に関係はない）状況では」

○「コインを投げるみたいに、行動を複数に分けて考えられるような状況では」

和の期待値＝期待値の和

という式が成り立っていて…
今回みたいな「「回数の和」の期待値」は分けて考えて、
「「それぞれの出来事での回数の期待値」の和」と考えることもできて…

そうすると「「表の回数の和」の期待値」は分けて考えて、
「「一回投げるあたりでの表の回数の期待値」の和」って考えて…

一回投げるのだと…
表が１回：１／２
表が０回：１／２
つまり、
「一回投げるあたりでの表の回数の期待値」＝
（１／２）×１＋（１／２）×０＝１／２

その和だから２回足して、
１／２　＋　１／２　＝１

ともできるんです。
こうすれば、１０回振ったときの面が出る回数の期待値は
１／２を１０回足して…５回なんてこともできるわけです。

…まあという数学の話を使えば必ず解けるけど…
もっと感覚的にといてもいいかなと思います。
というか、イはそんな答えが見てみたいんです！



こんばんは。
とりあえず、答えは、男の子１０人、女の子１０人のときと同じですね。
解き方は、また今度。


こんばんは。
natsuさん、たぶん正解ですね。

ま、答えが何になるかより…
解き方が問題なんで、みんな挑戦してくださーい。
【上の期待値の話なんて理解してなくたって解けますからねー】
…むしろ理解してない方が、きれいな回答になったりして。




1人の男の子になったつもりで考えると、「自分の好きな女の子」に好かれるかどうかが問題ですから、
それ以外の女の子はいてもいなくても同じです。つまり女の子が何人いようと関係ありません。
立場を逆にして考えれば、男の子の人数も関係なくなります。
となれば、一番単純な「男の子１人＆女の子１人」にしても同じことでしょう。
よってカップルは平均１組できます！

ちょっと乱暴かも・・・。


おっ！
いきなり、キレのある回答ですね。
結構、想定してた回答に近いです。

じゃあちょっと質問。

＞「自分の好きな女の子」に好かれるかどうかが問題ですから、それ以外の女の子はいてもいなくても同じです。
ということは、好きじゃない人はいてもいなくても一緒ということですよね。

＞つまり女の子が何人いようと関係ありません。
そう、好きじゃない人は【その人にとっては】関係ないです。

じゃあこんな状況ならどうですか？
３×３だとしましょう。ＡＢＣとａｂｃです。

Ａ→ａ　Ｂ→ｂ　Ｃ→ｃ
ａ→Ａ　ｂ→Ｃ　ｃ→Ｃ

のように好きだったとすると…
Ａにとっては確かに、ｂもｃもいてもいなくても同じですが、
ｂやｃがいなくなるとＣ＆ｃの組み合わせが破壊されてしまいますよね。
こういう風に、その人意外の都合を考えると
全体的には「いてもいなくても同じではない」状況もありえるのでは？


じゃあ、私の考えをかきます。

私たち女の子組が４人います。
他の女の子のことはほっといて、私は、７人のうちのＥ君がすきだったとします。
Ｅ君が私のことを好きかどうかは１／４の確率です。
別にＥ君じゃなくても、私の期待値は１／４です。

他の女の子も１／４だから、
１／４×４＝１　で、期待値は、１組。
ひとりの女の子にとって、男の子の数は関係なく、期待値は決まります。

女の子がｍ人いるとしたら、一人の期待値は１／ｍで、全員の期待値は
１／ｍ×ｍ＝１で、何人いても、期待値は１組。
ここまでは、正しいと思います。このあと、考えたのですが、

ひとりの女の子にとって、男の子の数は関係なく、期待値は決まるのだから、
男の子は、１人と考えても同じ答えになるはずで、
男の子が１人であれば、絶対、期待値は１人となります。

でも、例えば、２組（以上）のカップルのできる可能性はという問題であると、
上の考え方は成り立たなくなるから、なんかおかしいんですよねえ。

イさんの解答を楽しみにしています。


男の子と女の子が何人かいて、そこから例えば男の子1人がいなくなったとします。
これにより1組のカップルが消滅する可能性があります。

また、その男の子を好きな女の子がいれば、彼女（たち）は別の男の子を好きになります。
これにより何組かのカップルが誕生する可能性があります。

この「消滅の可能性」と「誕生の可能性」がうまく相殺することが
示せたらいいなと思ってたんですが・・・うーん・・・。


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返信をしようとしたら、間違いに気づきました。
２コ目の投稿で

×【実はコインを投げるみたいに、一つ一つがそれぞれ関係なく起こる（つまり一回目が表でも裏でも、二回目の表裏に関係はない）状況では】

○【コインを投げるみたいに、行動を複数に分けて考えられるような状況では】

でした。勘違いしてました。つまり、独立とかはこの場合は関係ないです。ほんと。すいません。

で、このことをふまえると用意してた返信が使えなくなったので、また明日。すいません。

こんなときはまず数の少ないときから予想するといいかも。

ということで３人同士のとき。
起こりうる事象が３の６乗通りあってめんどいので
場合わけで示します。
　?@）男子が三人ともある一人を好きなとき（３／２７）
　　　　必ず１組成立。
　?A）二人の男子は好きな人が同じであるとき（１８／２７）
　　　　０組→1/3x2/3         =2/9
　　　　１組→2/3x2/3+1/3x1/3 =5/9
　　　　２組→2/3x1/3         =2/9
　?B）男子の好きな人がばらばらの時（６／２７）
　　　　０組→(2/3)^3         =8/27
　　　　１組→(2/3x2/3x1/3)x3 =4/9
　　　　２組→(2/3x1/3x1/3)x3 =2/9
　　　　３組→(1/3)^3         =1/27　　　　ふう。
てなわけでその期待値は
3/27+18/27x(5/9+4/9)+6/27x(4/9+4/9+1/9)
＝１
やればわかりますが４と７でも似たようなことになりますね。
説明は皆さんの発言のとおりだと思います。

おーみなさん正解ですねぇ。
いろんなやり方があるでしょう。

xevsさんのようなやり方
＞3/27+18/27x(5/9+4/9)+6/27x(4/9+4/9+1/9)＝１
も、一見計算だけに見えますけど、大きな数字の場合に予想するのには有意義ですし、
5/9+4/9＝1　4/9+4/9+1/9＝1　のように、男の人がどのように女性を好きになっても
結局期待値は１になるということが分かるんです。


イが用意してた答えのうちの一つはこれと似た考え方を持つものです。
簡単のため、女４男３で説明します。
縦４×横３のマス目を用意して、縦に女、横に男と配置します。
女の方から横に見て、好きな人のマス目に○をつけます。

Ａがｃを、Ｂがａを、Ｃがａを、Ｄがｃを好きだとすると、
　ａ ｂ ｃ
Ａ　　 ○
Ｂ○
Ｃ○
Ｄ　　 ○
となります。

次に上から（つまり女を）見ていきます。
ａがＡを好きな確率は1/4、Ｂも1/4、全部1/4です。
そして、それが○がついたところを好きならば相思相愛成立なので、
ａと誰かの相思相愛カップルの期待値＝1/4×２　で、この２ってのは○の数ですね。
同じように考えれば、ｂのそれ＝1/4×０、ｃのそれ＝1/4×２
全部足したら、1/4×２＋1/4×０＋1/4×２＝1/4×４＝１
で、これで１になったのは偶然ではないです。

1/4×□の□は結局○の数になりますよね。で、○の数って何か。
それは女が好きな人のところにつけた印の数、つまり女の数なのです。
で、次に1/4ってどうやって計算したか思い出してみると、
1/(女の数)でした。　するといつでも1/(女の数)×(女の数)＝１なのです。


さて、次にnatsuさんの回答ですが、これもイに近い考え方をしています。
裏返ししたりなんだりで、似てないように見えるかもしれませんが、それは置いといて。
ただ、
＞別にＥ君じゃなくても、私の期待値は１／４です。
＞他の女の子も１／４だから、
に疑問を持つ人もいるかなと思います。
「私」が相思相愛になったら、他の人が相思相愛になる可能性が下がるし、
逆もそうで、そう簡単には言い切れないんでは？
という疑問です。確かに、それはそうなんですが…

見方を変えればこの問題はすぐに解決するんですね。
つまり、「私」を真っ先に考えたら１／４だった。
そうすると、他のある人を真っ先に考えても１／４なわけで…
つまり考える順番を変えればみんな１／４だって自信を持って言える。
考える順番なんて、勝手に決めたものだから、みんな平等にこう考えて差し支えないはずです。
だから、みんな１／４と言い切れるんです。

＞ひとりの女の子にとって、男の子の数は関係なく、期待値は決まるのだから、
＞男の子は、１人と考えても同じ答えになるはずで、
そう、その通りです！ただ、正確には、
＞男の子は、１人と考えても同じ【期待値】になるはずで、
とした方が誤解がないでしょう。

＞でも、例えば、２組（以上）のカップルのできる可能性はという問題であると、
＞上の考え方は成り立たなくなるから、なんかおかしいんですよねえ。
それは、２組以上のカップルの可能性を考えたら、こんなやり方は通用しないんですね。
でも、【期待値】を求める問題ならこの考え方でいいんですよ！


そして、LUMOさんの答えです。
＞それ以外の女の子はいてもいなくても同じです。つまり女の子が何人いようと関係ありません。
です。ほとんどnatsuさんの回答と同じですね。
natsuさんの回答の解説で分かったかもしれませんが…
私がそこにつっこんだ、
＞全体的には「いてもいなくても同じではない」状況もありえるのでは？
というのは、【期待値】は同じだけど【状況】は違うというような場合を作っての
意地悪な質問だったんですね。すいません。ですから、LUMOさんは最初から正解です。


ただ、そこで派生して出てきた…
＞この「消滅の可能性」と「誕生の可能性」がうまく相殺することが
＞示せたらいいなと思ってたんですが・・・うーん・・・。
ですが、これがまさしくイの第二の回答の考え方です。

みんな好きな順番が全部あるとします。そこで、トップの人が好きな人。
今、女性が突然一人いなくなったとします。
そこで問題があるのは、その女性を一番に好きだった男。
ここでカップルが消滅かもしれません。（もし成立していたら）
その女性がいないのだから、次点の人が好きな人になります。
このときにカップル誕生かもしれません。

このとき消滅の確率は、いなくなった人が一番だったある男の人に注目すると…
その確率はその一番だった女が自分を好きだった確率。
同時に誕生の確率は、二番だった女が自分を好きだった確率。
この二つは当然同じなので、「消滅するカップルの期待値」＝「誕生するカップルの期待値」。

７×４と７×３を比べると、このように７×３は
７×４の４のうちの一人が実はそのクラスに来てなかった。という状況と同等に考えられる。
だから、１×１のときとカップルの数の期待値は同じで、１。


【算数・数学の苦手な人でも分かる話】
で結局、このように一人を選ぶというルールだと相思相愛は平均一組しかできないんですね。

それなら…
世界で一番好きな異性に順にみんな告白していくゲームをする。
（ここでは！どんな人を好きになる確率も同じとする。普通は趣味とかありますが）
初日には一番好きな人。二日目は二番目。とすると…

初日に成立する、いわば運命のカップルは平均一組！
二日目に成立するカップルも、三日目もだいたい平均一組！
３番目まで許容とかだとややこしくなりますが…まあだいたい９組です。

なんか、意外と運命のカップルって少ないのかもしれません。
…ということで済み！


結果が意外で、とても、面白い問題でした。
みんな誰でも良いのかも♪


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。