頭の運動 〜クイズでIQ&右脳を鍛えよう!〜

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053948 あるなし 即席あるなし Na-ko 2005/11/10(Thu) 17:07:17
053952 パズル 四字熟語20 宮月 2005/11/10(Thu) 19:49:13
053961 文章問題 存在の証明 CrossRoads0 2005/11/11(Fri) 18:21:14
053962 なぞなぞ 暗号クイズ はい 2005/11/11(Fri) 18:32:31
053986 あるなし わかるかな?あるなしクイズ はい 2005/11/14(Mon) 21:53:09
053991 あるなし あるなし12問目 宮月 2005/11/15(Tue) 16:44:41
053995 未選択 5+5+5+=550!? 、、、 2005/11/17(Thu) 18:04:27
054009 パズル 1本加えて ホットン 2005/11/18(Fri) 19:09:47
054024 未選択 IQクイズの穴埋め はい 2005/11/19(Sat) 16:11:29
054036 あるなし あるなし問題(42th) ルナ 2005/11/19(Sat) 18:55:55
054043 パズル Square of words(2) P 2005/11/20(Sun) 18:40:59
054056 その他 数字の法則 BAKA 2005/11/21(Mon) 22:51:15
054080 パズル 四字熟語21 宮月 2005/11/24(Thu) 01:01:50
054107 その他 wander the sphere CHOPIN 2005/11/26(Sat) 15:53:35
054112 未選択 ちょっとした文章題 .com.com 2005/11/26(Sat) 16:30:48
054156 文章問題 同音異義語の問題 ルナ 2005/11/30(Wed) 18:16:56
054163 あるなし あるなし問題(43th) ルナ 2005/12/02(Fri) 17:10:21
054165 その他 チェシャ猫の証明 有毒無害 2005/12/03(Sat) 12:09:37
054167 その他 当て字問題。 yakann 2005/12/03(Sat) 14:20:27
054190 パズル 猫の奇跡 ホットン 2005/12/05(Mon) 12:44:15
054202 パズル 1文字加えて 1 .com.com 2005/12/06(Tue) 16:31:26
054204 文章問題 The Probability of Marbles CHOPIN 2005/12/06(Tue) 21:04:47
054217 未選択 パな系問題5題PART6 Sphere 2005/12/07(Wed) 22:05:56
054228 その他 法則問題 宮月 2005/12/08(Thu) 14:30:44
054258 未選択 千円札で! ソラ 2005/12/10(Sat) 16:20:53
054265 文章問題 論理問題(その1) ルナ 2005/12/10(Sat) 23:46:34
054270 未選択 とっても簡単! ソラ 2005/12/11(Sun) 12:05:01
054282 パズル 四字熟語22 宮月 2005/12/12(Mon) 04:50:26
054303 あるなし あるなし問題(44th) ルナ 2005/12/12(Mon) 22:40:23
054313 その他 グロリア・スコットな法則 有毒無害 2005/12/14(Wed) 16:19:25



問題No.054204

The Probability of Marbles

CHOPIN (2005/12/06(Tue) 21:04:47)

こんばんは〜。師走ということもあってか、なかなか回答者が現れませんね…
と言いつつ自分も回答してないじゃんという事態に陥っています(汗)…が2題目を出したいと思います。
1題目は年明けを目途に解答発表したいと思います。

問題

 赤色のビー玉と青色のビー玉がそれぞれ100個ずつと空の容器が2つあります。
この200個のビー玉を2つの容器に好きなように振り分けて入れていきます。
ただし、どのビー玉も必ずどちらかの容器に入れなければなりません。
 次に、2つの容器から無作為に1つ選び、その選んだ容器からビー玉を1個取り出します。
このとき、赤色のビー玉を取り出す確率を最大にするには、
赤色と青色のビー玉をどのように振り分ければよいでしょうか。
また、そのときの確率は何%くらいでしょうか。

<おまけ>
赤色のビー玉を取り出す確率の最小値は何%くらいですか?

<解答方法>
求めた確率の小数第1位を四捨五入して「○○%名前」で暗号化してください。
(ビー玉の振り分け方は問いません)


<furthermore>
高校数学の範囲になってしまいますが、上の話を一般化したので時間のある方は是非トライしてみてください。
ちょっと入試っぽくしてあります。

mを自然数の定数、nを自然数とする。
赤色のビー玉と青色のビー玉がそれぞれm個ずつあり、これらのビー玉をn個の容器に好きなように
振り分けて入れていく。ただし、どのビー玉も必ずどれかの容器に入れるものとする。
次に、n個の容器から無作為に1個選び、その選んだ容器からビー玉を1個取り出す試行を考える。
このとき以下の問いに答えよ。


(1)赤色のビー玉を取り出す確率を最大にするには、赤色と青色のビー玉をどのように振り分ければよいか。
   また、そのときの確率をm、nを用いて表せ。

(2)(1)の最大値をmを用いて表せ。

<furthermore>については、(2)の答えのみ提示していただければ構いません。
暗号化はしてもしなくてもどちらでも結構です。





 
ゴドー (2005/12/07(Wed) 11:43:37)

2005/12/07(Wed) 18:30:44 編集(投稿者)

こんにちは。

[ 6cb918eac149ab5362317a2ea2ce1b95 ]

<おまけ>の方は、100−(上の答え)で良いのかな。

<furthermore>(1)

{ 1 - m / ( n ( 2m - n + 1 ) ) } × 100

 
P (2005/12/07(Wed) 15:50:18)

コンニチハ〜

「2a888dbecf2b065ee6bd862d647a0080 」(すべて全角)

<furthermore>
(1)の確率(%抜き)
 ・n≦mのとき  {n-1+((m-n+1)/(2m-n+1))}/n
 ・n>mのとき  m/n


>(2)(1)の最大値をmを用いて表せ。

nは使わないんですか?
ためしにn→∞にして消してみたんですけど1か0になってmも消えちゃう….
単に私の答えが間違っているだけかな.


 
CHOPIN (2005/12/08(Thu) 18:18:57)

ゴドーさん、Pさん、いらっしゃいませ〜\(≧▽≦)/

ゴドーさんもPさんも正解です!

<furthermore>の(1)は表記が複雑なのにわざわざ書いて
いただいてありがとうございます(謝)
お二人とも正解です。

<furthermore>の(2)が鬼門でしょうか。
> nは使わないんですか?
> ためしにn→∞にして消してみたんですけど1か0になってmも消えちゃう….

極限は使いませんよ。数学?Tの知識があれば十分解けます。
ただ、式の見方に工夫が必要ですが…。ここでもロジックが働きます。




 
P (2005/12/12(Mon) 16:15:50)

ふたたび,こんにちは〜

> (2)(1)の最大値をmを用いて表せ。

(1)で最大の確率を求めたのにその最大値を示せという意味がよくわからなかったんですが,
ビー玉の個数mを変えずに,容器の数nだけを変えた場合の最大値と解釈すると

・n≦mのとき,nが大きいほど確率が大きいので,
 n=mのとき最大で,確率は m/(m+1) .

・n>mのとき,nが小さいほど確率が大きいので,
 n=m+1のとき最大で,確率は m/(m+1) .

したがって,n=m,m+1のとき最大となり,その確率は m/(m+1) .


 
CHOPIN (2005/12/24(Sat) 19:47:14)

Pさん、こんばんは〜
レスが遅れてすみませんでしたっ!
後でレスを書こうと思っていたらすっかり忘れて、いつのまにか書いた気でいました(泣)
気づかせてくれたsageストッパーさんに感謝です!

<futhermore>の(2)ですがみごとに正解です!
(1)も(2)も私の用意した解答とまったく同じですので、
<futhermore>のみ解答・解説しておきます。

厳密にいくならば場合分けした方がいいでしょう。

(1)赤色のビー玉がm個あるので
  (イ)n≦mのとき(つまり容器の数が赤のビー玉の個数に等しいor少ないとき)
  
   n−1個の容器に赤ビー玉のみを1個ずつ入れ、残り1つの容器に青ビー玉全部と残りの赤ビー玉を
   入れれば、赤ビー玉を取り出す確率は最大になります。
   このときの確率は、

     (n−1)/n + 1/n × {m−(n−1)}/{2m−(n−1)}  
      
        ↑      ↑        ↑        ↑ 
     n個の容器の  残り1個の   残りの赤ビー玉  この容器に入って
     うち、赤ビー  容器を選ぶ   の個数      いるビー玉の総数
     玉のみ入って  確率
     いるn−1個
     の容器を選ぶ
     確率
                                       と表せます。

      これを整理すると、

       1 − m/{n(2m−n+1)} ・・・答え          を得ます。

  (ロ)n>mのとき(つまり容器の数のほうが赤のビー玉の個数よりも多いとき)

     n個の容器のに赤のビー玉を1個ずつ入れて、そのほかの容器に青ビー玉を入れればよい。
     このとき赤ビー玉の入っている容器はm個あるので、求める確率は、

            m/n  ・・・答え 


(2)についてはPさんの解答とまったく同じですが、(イ)の場合について少し補足しておきます。
            
   mは定数なので、固定して考えます。そうすると、n(2m−n+1)は
   nについての2次関数とみることができます。ところで、mを固定するのですから、
   1 − m/{n(2m−n+1)} は n(2m−n+1) の部分の値だけが変化していく
   わけですが、 1 − m/{n(2m−n+1)} が最大になるには、   
   m/{n(2m−n+1)} が最小にならなければなりません。プラスの分数は分母が大きくなれば
   なるほどその値は小さくなるので、分母である n(2m−n+1) が最大になるnを求めれば
   いいわけです。あとは、2次関数の最大最小問題になり、m、nが自然数であることに注意すれば
   Pさんの解答になるわけです。

   まあ、こんなことをしなくても、1個の容器に全部詰めるより、多く(上限はあるにせよ)の
   容器に振りわけたほうが確率が上がるのは当然といえば当然ですが…
 








                          




 
CHOPIN (2006/01/09(Mon) 19:53:23)

2006/01/09(Mon) 19:54:00 編集(投稿者)

さて、時間も結構経ちましたので解答解説したいと思います。
<furthermore>については上で述べてありますので、ここでは割愛します。


解答:75% <おまけ>は25%

解説:
 1つの容器に全部の赤ビー玉、もう1つの容器に青ビー玉を全部入れても、
赤ビー玉を取り出す確率を最大にすることはできません。(このときの確率は50%)

確率を最大にするには1つの容器に赤ビー玉を1個だけ入れ、もう一つの容器に
残り99個の赤ビー玉と青ビー玉を全部入れます。
このときの確率は、上の<furthermore>の(1)の式にm=100、n=2を代入すれば出ます。
実際に代入すると、 

           1/2 + 1/2 × 99/199

これを計算すると、

             0.748743・・・

これに100を掛け(%表示にするため)、小数第1位を四捨五入すると75%となります。

<おまけ>の問題は、赤ビー玉と青ビー玉の対称性から求まります。
赤ビー玉を青ビー玉にかえても、青ビー玉を取り出す確率の最大値は75%です。
このとき、赤ビー玉を確率は一番小さくなります。

よって、求める確率は
   
          100−75=25(%)

となるわけです。

考えて頂いた皆さんありがとうございました。
これで、済みです。


 
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。


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