パな系問題PART12[パズル]
Sphere (2006/02/20(Mon) 17:05:36)
2006/02/20(Mon) 17:32:50 編集(投稿者)
こんにちは。今回もパズル問題です。
前回よりは、難しいかも？
第１問（5点）
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16本のクギが等間隔で板に刺さっています。（真上から見た図）
このうち四隅に輪ゴムをひっかけたとき、輪ゴム内の面積が９であったとします。
では、四箇所に輪ゴムをひっかけて、面積を５にしてください。
ただし、どの辺も同じ長さでなければなりません。
※回答の都合上、一番左上のクギを(1,1)とし、
右へは(2,1)(3,1)...
下へは(1,2)(1,3)...とします。
ひっかける場所を座標で答えてください。
第２問（7点）
ある立方体の商品が次のように積んであります。
一番上は１個
その下は上の１個を均等に支えるようにして４個
その下は上の４個を均等に支えるようにして９個
この商品が一辺10cmの立方体だった場合、
この立体の表面積は何平方cmでしょうか？
第３問（8点）
ある日にハワイへ観光旅行した日本人を考えます。その中で、その日にハワイで奇数人の日本人に会った
人の数をNとします。Nは偶数であることを示してください。
ゴドー (2006/02/20(Mon) 17:56:50)
2006/02/20(Mon) 18:07:35 編集(投稿者)
こんにちは。
とりあえず第１問、第２問だけ解りました。第２問は一番下の面も含めて計算しました。
第１問 (1,1),(1,3),(4,3),(3,1)
第２問 4200平方cm
.com.com (2006/02/20(Mon) 18:28:05)
どうも。
問1 (1,2)(2,4)(4,3)(3,1)
問2 4200平方cm
問3 会う人数をL(=2m+1)人とすると、
L+1(自分)=2m+1+1
=2m+2
=2(m+1)
よって、奇数人に出会う人数Nは偶数である。
うーん、問3が説明不足ですね。
あっ！
今気づいた！
では、問3だけ再解答します。
問3 全体の人数をL人とすると、出会いの数は2*L=2Lとなる。
その中で奇数人に出会う人をM人とすると、
2L=(2X+1)M+2Y(L-M) (X、Yは任意の自然数)
=2XM+M+2YL-2M
=2XM-M+2YL
0=2(XM+YL)-M-2L
M=2(XM+YL-L)
ここで、M、L、X、Yは自然数より、XM+YL-Lも自然数。
よって、Mは2の倍数、つまり、偶数となる。
ちょっときつかった！
ゴドー (2006/02/20(Mon) 19:03:45)
2006/02/20(Mon) 19:06:57 編集(投稿者)
第３問
１回の出会いごとに２人の人が会うので、会った人の合計は偶数となります。(a)
「偶数人に会った人」たちが会った人の数の合計は、偶数です。(b)
「奇数人に会った人」たちが会った人の数の合計は、奇数のN倍です。(c)
よって、
偶数(bより)＋奇数のN倍(cより)＝偶数(aより)
となります。
なので、Nは偶数です。
説明が分かりにくくなってしまったかもしれません。証明は難しいですね。
Sphere (2006/02/21(Tue) 17:32:09)
第１問
(1,2)(2,4)(4,3)(3,1)に輪ゴムをひっかければ、一辺√5の正方形ができあがります。
よって面積は√5×√5＝5
.com.comさん正解。
ゴドーさんの回答は上底2、下底3、高さ2の台形で、確かに面積は5になるのですが、
問題文に「すべての辺は等しくなければならない」という条件があるため、残念ながら違います。
第２問
（解法の一例）
１段目、２段目、３段目の表面積を別々に計算し、１段目と２段目および
２段目と３段目が面している部分の表面積を引きます。
（単位は平方cm)
１段目：600 ２段目：1600 ３段目：3000
１段目と２段目の接している部分：200
２段目と３段目の接している部分：800
600＋1600＋3000−200−800＝4200
ゴドーさん、.com.comさん正解です。
第３問
私の示す解答は、ゴドーさんの回答を図式化したものです。
たとえばAさんとBさんが会ったとしたら、
A B
・────・
のように線でつなぐことができます。
奇数人の日本人に会ったということは、ある点から出ている線の数が、
奇数個あるということです。
その奇数個ある頂点の線の数の和Sを考えます。
(1)偶数個ある頂点の線の数の和は、もちろん偶数です。
(2)この２つを足した数字はやはり偶数です（線でつなぐということは、
その両側の頂点で線が1個ずつ増えることになりますね）
(3)よってSは偶数です。
.com.comさんの解法は、「会った数」に着目して奇数と偶数に場合わけして解いていますね。
これもいいと思います。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
