数学に挑戦！ 4
.com.com (2006/03/15(Wed) 13:19:14)
2006/03/21(Tue) 17:58:02 編集(投稿者)
2006/03/21(Tue) 11:45:26 編集(投稿者)
さりげに続いている「数学に挑戦！」シリーズ。
今のところ6までできてます。今後の予定は未だ未定です。
Section 1 規則を探せ！
式の規則を見つけ、8番目の式の結果を答えてください。
％10＝1000 ％２＝ ８ ％１＝０ ％５＝96
％16＝9984 ％７＝104 ％３＝８ ％９＝？
(補足…ちょっとイジメ要素があるかも……)
Section 2 符号を埋めろ！
■に「＋」「−」「＊」「／」の符号を埋めてください。
10000■1000＝100■10■１
(補足…これはきっと簡単です。)
Section 3 覆面算を解け！
ＮＯＴＥ
＋ ＢＯＯＫ
――――――
ＳＴＵＤＹ
ＢＤＥＫＮＯＳＴＵＹに１〜９，０の数を入れてください。
このとき、ＢＤＥＫＮＯＳＴＵＹをお答えください。
ただし、次の条件を満たすようにすること。
Ｂ＜Ｎ Ｅ＜Ｋ
なお、不安な方は全て埋めた式をお答えてくださっても構いません。
(補足…今回のはちょっと難しいと思います。
なお、条件をつけた理由は入れ替えが可能だから。
別解大量発生を避けるためです^^;。)
Section 4 証明せよ！
[問題]3以上の整数nを分母に持つ真分数(分子が分母より小さい分数)がある。
このとき、同じ分母nにおける全ての真分数のうち、
既約分数(分子と分母がともに2以上の同じ数で割れない分数)が
2つ以上あることを証明せよ。
ただし、「m-n=Aはm、nの公約数になることがある」という事を
利用してもよい。
(補足…この問題もオリジナルです。
いろんな答えが出ることを期待しています。
お気軽にどうぞ^^/)
〜〜〜追記 1 問題の作成状況〜〜〜
「数学に挑戦！」６まで
「1文字加えて」 12まで(連載シリーズまで)(今後の作成の意気込みあり)
〜〜〜追記 2 この後の予定〜〜〜
今までに出した問題を整理しているため、「追記 1」で出したものを全て出してから
しばらく整理が終わるまで出さない予定です。
ゴドー (2006/03/15(Wed) 14:11:35)
2006/03/15(Wed) 14:58:48 編集(投稿者)
こんにちは。
Section 2
／,／,／
／,／,＊
Section 3
5027861439,6837921540
Section 4
nを素因数分解した結果を
n＝m1×m2×・・・×mx
とする。
すると、
n-1＝（m1×m2×・・・×mx）−1
となるので、n-1はm1〜mxのどの数で割ろうとしても1足りない、つまり割り切れない。
したがって、(n-1)/nは既約分数である。
また、1/nは既約分数である。
したがって、3以上のどんな整数nに対しても、(n-1)/nと1/nの少なくとも２つは既約分数なので、既約分数が2つ以上存在する。
もうこのシリーズ6までできているんですか。すごいですね。楽しみにしています。
CHOPIN (2006/03/17(Fri) 23:34:53)
2006/03/18(Sat) 11:46:16 編集(投稿者)
.com.comさん、こんばんは〜
旧友とオールしてヘロヘロのCHOPINです。
さて、sec.4 です。
これで証明になっているか多少不安です。
なにしろ、以下に出てくる公式をいじるのは初めてなので。
以下ｎ≧３のもとで考える。
「同じ分母ｎにおける全ての真分数のうち既約分数が２つ以上ある」
⇔「ｎ以下の自然数についてｎと互いに素なものが２つ以上ある」・・・?@を示す。
自然数ｎ＝(A1^P1)・(A2^P2)・・・(Am^Pm) ・・・?A （←素因数分解した形。Amは素因数、^Pmはその累乗を表す）
と表すとすると、このｎについての関数
φ(ｎ)＝ｎ・(１−1/A1)・(１−1/A2)・・・(１−1/Am) ・・・?B
はｎ以下の自然数でｎと互いに素なものの個数を表す。（上式をオイラー関数といいます。）
?Bより、
φ(ｎ)＝ｎ・(１−1/A1)・(１−1/A2)・・・(１−1/Am)
＝ｎ・{(A1−１)(A2−１)・・・(An−１)}／(A1・A2・・・Am)
ここで?Aより、
＝(A1^P1)・(A2^P2)・・・(Am^Pm) ・［{(A1−１)(A2−１)・・・(Am−１)}／(A1・A2・・・Am)］
＝({A1^(P1-1)}{A2^(P2-1)}・・・{Am^(Pm-1)})・({(A1−１)(A2−１)・・・(Am−１)})
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
今、傍線部の累乗はすべて０以上であるから傍線部は自然数。（∵?Aが素因数分解されてるから各素因数の累乗は１以上）
（?T）ｎが素因数に２しか持たないとき
このとき、 ｎ＝２^q （ｎ≧３より、qは２以上） と書け、
傍線部は ２^(q-1) で、波線部は ２−１＝１ となり、φ(ｎ)≧２
（等号成立はq＝2のとき、すなわちｎ＝４のとき）である。
（?U）ｎが３以上の素因数を持つとき
このとき、波線部は Am−１≧３−１＝２ だから、φ(ｎ)≧２ （等号成立はｎ＝３のとき）である。
以上から、ｎ≧３において ?@は示された。 （q.e.d.）
専門的ですいません、別解を考えるのに苦労しました（汗）
このオイラー関数の証明はちょっと専門書を読んでみないとわかりませんが、
自然数について、２つに１つは２で割り切れない、３つに２つは３で割り切れない、・・・、と考えれば
なんとなくわかると思います。
今回の問１はさっぱりです(T_T)
.com.com (2006/03/21(Tue) 12:08:30)
2006/03/25(Sat) 18:50:29 編集(投稿者)
2006/03/23(Thu) 22:05:03 編集(投稿者)
12:00ちょうどにこんにちは。と言っても8分ずれた！
ゴドーさん
＞もうこのシリーズ6までできているんですか。すごいですね。楽しみにしています。
ありがとうございます。
自分では「その5」の「Sec.1とSec.4」、「その6」の「Sec.3」が難しいと思います。
中でも「その6」の「Sec.3」は2日かけて考えました。(試験中の休みに^^;)
CHOPINさん
＞これで証明になっているか多少不安です。
読んでみましたが、先に報告しておくと「正解」です。
「オイラー関数」……知らないなあ。
数学の参考書にも載ってなかったです。
まあ、こういう関数があるという事が示してあれば大丈夫です。
＞今回の問１はさっぱりです(T_T)
さすがに5日くらい(正確には6日)経ってるのでヒントを出しておきます。
〜〜〜ヒント〜〜〜
パソコンとそのまま
意味不明だ〜！
〜〜〜さらにヒント〜〜〜
２と10
〜〜〜さらにさらにヒント〜〜〜
％の後の数を答えに足して見ましょう。
何かが見えてきます。
宮月 (2006/03/25(Sat) 20:56:48)
証明とか考えてはいるんですが難しいですねぇ。
私理数系大学生なのに・・・・・・
まぁ、いいや。
セクション１
ヒント見てわかりました。
うまいなぁ・・・
％１＝０ ％２＝９ ％３＝８ ％４＝９６ ％５＝９６
％６＝１０４ ％７＝１０４ ％８＝９９２ ％９＝９９２
％１０＝１０００
ですね。（法則はわかったのですが計算ミスしてなければね）
そのほかは皆さんが解いていらっしゃるのでパス。
.com.com (2006/03/26(Sun) 15:47:06)
Sec.1の回答者がいないままなので解答出そうかなあと思ってたら
宮月さんが答えてくれてました！
答え
(ここの答えは一例です。他の答えは別解や解説を参照してください。)
Sec.1 992
Sec.2 ／、／、＊または／、／、／
別解
Sec.3 5027861439,6837921540
解説
Sec.1
％Ａのとき、Ａの2進数(を10進数として考えた値)−Ａ。
2進数とは0と1で数を表すことです。
例)１＝1
２＝10(2とはしたいが、2はないと考えるので桁が繰り上がって10)
３＝11
４＝100(12とはしたいができないので繰り上がり。
でも、20はできないので再び繰り上がって100)
５＝101
６＝110
７＝111
８＝1000
追記…全ての桁が1となったとき、+1すると桁が繰り上がる。
[説明]
％10＝ 1010-10=1000
％２＝ 10- 2= 8
％１＝ 1- 1= 0
％５＝ 101- 5= 96
％16＝10000-16=9984
％７＝ 111- 7= 104
％３＝ 11- 3= 8
％９＝ 1001- 9= 992
Sec.2
[答えを入れた式]
10000／1000＝100／10／１＝10
10000／1000＝100／10＊１＝10
Sec.3
[答えを入れた式]
ＮＯＴＥ＋ＢＯＯＫ＝ＳＴＵＤＹ
８６４２＋５６６７＝１４３０９
９２５３＋６２２７＝１５８４０
実は自分の控えていた解答が間違っていたため、別解を掲載しました。
ごめんなさい。
なお、指定がなければＢとＮ、ＥとＫの入れ替えができます。
Sec.4
[解答例 1]
(i)分子が1なら1とnの最大公約数は1なので互いに素となり、既約分数となる。
(ii)分子がn-1のとき、n-(n-1)=1
よって、公約数は2以上にならないので互いに素となる。
(i)(ii)より、既約分数が2つあるので、既約分数は2つ以上となる。
[解説]
互いに素となる例を2つ出し、それで2つ以上あるという証明法。
[解答例 2]
1/n+(n-1)/n=n/n
2/n+(n-2)/n=n/n
(以下略)
nを2つの数に分解するとき、片方がnと互いに素なら
もう片方もnと互いに素である。
(この後は「解答例 1」の(i)(ii)の片方を証明する)
[解説]
片方が互いに素ならもう片方も互いに素という事を示し、1つ例を出す証明法。
ただ、こちらの方は少し証明になってないと思います。
[別解 1 (ゴドーさん)]
(ii)n=m1×m2×m3×……mx(m1〜mxは素因数分解したときの因数)
最小の因数は2なので両辺を-1してもいずれの因数がその因数で
割り切れることはない。
よって、分子がn-1のときは互いに素となる。
(残りの部分は「解答例 １」と同じ)
[解説]
1引くとどの因数でも割り切れないという事を利用。
[別解 2 (CHOPINさん)]
(解説が面倒なのでそのままの解答をご覧ください。〜〜〜No.55023〜〜〜)
(部分的な解説)
(1)
＞φ(ｎ)＝ｎ・(１−1/A1)・(１−1/A2)・・・(１−1/Am)
＞ ＝ｎ・{(A1−１)(A2−１)・・・(An−１)}／(A1・A2・・・Am)
これは(１−1/A1)・(１−1/A2)・・・(１−1/Am)の部分を計算したときの
結果です。１−1/A1＝A1/A1−１/A1＝(A1−１)/A1で、これを分子と分母に
分けて直しています。
(2)
＞ここで?Aより、
＞ ＝(A1^P1)・(A2^P2)・・・(Am^Pm)・[{(A1−１)(A2−１)・・・(Am−１)}
＞ """""""""""""""""""""""""""""
＞ ／(A1・A2・・・Am)]
＞ """"""""""""""""
＞ ＝({A1^(P1-1)}{A2^(P2-1)}・・・{Am^(Pm-1)})・
＞ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
＞ ({(A1−１)(A2−１)・・・(Am−１)})
＞ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(まとめたため、2〜5行目を2行に分けました。
また、5行目は見やすくするために修正、3行目は加筆)
2行目は?Aの式の代入です。
4行目は"""""の部分をまとめたものです。
(3)
＞今、傍線部の累乗はすべて０以上であるから傍線部は自然数。
＞（∵?Aが素因数分解されてるから各素因数の累乗は１以上）
P1〜Pmは1以上(0以下だと(An^Pn)が1以下になり、不適だから)なので、
Pn-1は最低で0、つまり、{An^(Pn-1)}は1以上となり、結果として0以上となる。
また、Pnが自然数なので傍線部が自然数(1以上)となるという事です。
(4)
＞（?T）ｎが素因数に２しか持たないとき
＞ このとき、 ｎ＝２^q （ｎ≧３より、qは２以上） と書け、
＞ 傍線部は ２^(q-1) で、波線部は ２−１＝１ となり、φ(ｎ)≧２
＞ （等号成立はq＝2のとき、すなわちｎ＝４のとき）である。
2行目の式から、Am=2、Pm=qを傍線部に代入。波線部は2-1となる。
また、qが2以上なので3行目の式の最小値は2。
結果として、?Bの式は互いに素の個数を示しているので必ず2以上となる。
よって、（?T）の場合は?@を満たすという事。
(5)
＞（?U）ｎが３以上の素因数を持つとき
＞ このとき、波線部は Am−１≧３−１＝２
＞ だから、φ(ｎ)≧２ （等号成立はｎ＝３のとき）である。
波線部は2以上という事になります。
また、傍線部が1以上なので、かけると2以上となります。
よって、（?U）の場合は?@を満たすという事です。
[解説]
ちょっと専門的でしたが、オイラー関数があるという事を頭に入れれば
この証明も正解です。
[正解者]
Sec.1 宮月さん
Sec.2 ゴドーさん
Sec.3 ゴドーさん
Sec.4 ゴドーさん、CHOPINさん
.com.com (2006/03/26(Sun) 15:48:25)
今回の解答は字数を超えてしまったため、一部を省略しています。
では、引き続き「数学に挑戦！ 5」をお楽しみください。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
