円周率＝３の弊害？
oil (2003/02/10(Mon) 20:14:39)
円周率＝３とすると円とそれに内接する正六角形の周囲の長さは
等しくなってしまいます。
これに気付いたある日以下のような疑問が沸いてきました。
「これと同様に円とそれに内接する多角形が同じ面積になるためには
どのような多角形であればよいか。」
（正n角形に限定すると考えやすい？nが整数だと不可能かもしれませんが）
数学的な思考から離れて長いのでどう考えていいのかわかりません。
皆さんの意見を聞かせてほしいと思います。
sugar (2003/02/10(Mon) 21:52:57)
sugarです。
おもしろいですね。
半径rの円の面積は、π*r*r
正n角形の面積は、0.5*r*r*sin(360/n)*n
これを等式で結んで、π=3とすると
n=12（計算では私はとけないけど、数字を当てはめていくとでてくる）
正１２角形が円周率３の円の面積と同じになります。
イ (2003/02/10(Mon) 22:53:21)
半径１に内接する正１２角形の面積の求め方
ってのはそれだけを解くための簡単なやり方があります。
正１２角形を、中心と頂点を結ぶ線で１２個の三角形に分けます。
このとき、一つの三角形は頂角３０°長さ１を二つ持った二等辺三角形になります。
次に、となりあった二つをくっつけた凧形を考えます。
そしたら対角線と二辺で正三角形を作れるので、面積は１＊１／２＝１／２
よって全体では６＊（１／２）＝３
sugar (2003/02/11(Tue) 00:54:40)
sugarです。
先ほどは、正12角形であることを、解析的に（計算機を使わずに）解くことができないと書きました。円周と多角形の周長が同じなのが、正６角形であることを使えば、以下のように導くことができます。
正n角形と円の周長が同じであるとすると、（*はかけ算, rは半径, ）
2*r*n*sin(180/n)=2*π*r
これより、
n*sin(180/n)=π (1)
ただし、これが成り立つのは、n=無限大のときであり、実際に成り立つ正多角形は存在しない。
一方、正n角形と円の面積が同じであるとすると、
1/2*n*sin(360/n)=π (2)
これも、成り立つのは、n=無限大のときであり、実際に成り立つ正多角形は存在しない。
ここで、π（円周率）が3であるとすると、n=6のとき（１）式は、
6*sin(30)=3となり、等式が成立する。
(2)式で、n=2*mとおくと、
m*sin(180/m)=π (3) となり、(1)と同じ形になる。
従って、π（円周率）が3であるとすると(3)式のm=6となり、n=12が導かれる。
応用すると、円周率が指導要領のせいで、なんか適当な値となって、例えば正４角形の周長と円の周長が同じになったとすると、（その２倍の）正８角形の面積は、円の面積と等しくなるんですね。
π＝３にも結構おもしろい効果があることがわかりました。
oil (2003/02/11(Tue) 13:40:18)
問題提起者oilです。
考えてくださったsugarさん,イさんありがとうございます。
円周率を3.14にすると正140角形あたりで面積が円を超えました。
（エクセルが大活躍）このくらいだともう「円と同じでいいよ。」
となりそうですがさすがに正12角形ではねえ。
この問題球と内接する多面体とかに発展できそうですが
今回はこの辺で解決ということで。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
