あほなので教えてください

なかじん　(2003/03/10(Mon) 17:16:21)

あるゲームがあります（はっきり言うとパチンコのことですが）。
大当たりすると1/2の確率で「単発」か「確率変動」（以下「確変」）になります。
「単発」だとその大当たりで終了。
「確変」だと続けて必ず大当たりします（「単発」か「確変」のどちらか）。
このとき連続で大当たりする平均回数は何回になるんでしょうか。
例えば「確」→「確」→「確」→「単」だと4回になります。
もちろん最後は必ず「単発」で終わります。

それとちょっと応用編で
大当たりすると2/3の確率で「単発」、1/3の確率で「確変」になります。
「単発」だと上と同じようにその大当たりで終了。
「確変」だと続けて2回必ず大当たりします。
もし「確変」で当たって次の大当たりも「確変」の場合はそこから次に2回当たることが保障されます。
例えば「確」→「確」と当たった場合は最低でもトータル4回当たります。
「確」→「確」→「単」→「単」のような場合です。
さらに例えば「確」→「単」→「確」と当たっている場合、
まだ後2回は必ず当たるので最低でもトータル5回当たります。
「確」→「単」→「確」→「単」→「単」のような場合です。
つまり「確変」で当たると次の2回の大当たりがどちらも「単発」のときに大当たりが終了します。
ではこのとき連続大当たりする平均回数は何回でしょうか。

期待値とかΣとかlimの計算とか使いそうなんですが、大学受験以来こんな計算
しなくなったのであほになってしまい求められません。
お願いします。


ごめんなさい、わかりません。
（現中３生）


一つ目は中３生でもわかるかもしれません。
ただし…「期待値」の感覚があればですけど。

期待値＝（確率×それでもらえるポイント）の和。
です。

たとえば、適当にじゃんけんをするときに、
相手の出す指の本数の期待値
＝グーの確率×グーのときの指の本数＋チョキの確率×チョキのときの指の本数＋パーの確率×パーのときの指の本数
＝（1/3）×0　+　（1/3）×2　+　（1/3）×5　＝7/3
です。

感覚的には、みんなわかっている感じのことです。
勝てば３コ、負けたら１コもらえるじゃんけんの場合…
まあ平均２コはもらえるかなあとか思いますよね。（力の差がなければ）


この感覚が身についていれば解けます。
変な記号を使わずにどうにかなります。
答えをＥっておいて方程式を作ればいいんですよ。
答えは２回になるはずです。

応用も同じような方法でできるはずです。
9/4回かな。（適当にやったから自信ない。）


9/4　+　1　で　13/4　です。たぶん。


イさん、まだわかりません。
導き方も教えてくれるとひじょ〜に助かります。
それと重要なこと言い忘れてました。
最初の大当たりが「確変」の時の平均大当たり回数が知りたかったのです。
だから一つ目の質問は最低が2回です。
「確」→「単」：2回
「確」→「確」→「単」：3回
「確」→「確」→「確」→「単」：4回
　　　　　・
　　　　　・
　　　　　・
という風に無限に続いて行きます。

応用編の質問も同じです。
一回目の大当たりが「単発」は考えないでください。
よって最低は3回になります。
「確」→「単」→「単」：3回
「確」→「確」→「単」→「単」：4回
「確」→「確」→「確」→「単」→「単」：5回
「確」→「単」→「確」→「単」→「単」：5回（←これでも5回）
　　　　　・
　　　　　・
　　　　　・
となっていきます。

この場合はどうでしょうか？おねげ〜します。


どもども

一つ目は計算方法さえ解れば簡単です。ｄ（＾　＾　）

２回目で終わる確立　…　１／２
３回目で終わる確立　…　１／４
４回目で終わる確立　…　１／８
　　　　　　　：

期待値Ｅは

　Ｅ　＝　　　　　　１／２　＋　１／４　＋　１／８　…　→（１）

両辺を２倍して

２Ｅ　＝　１　　＋　１／２　＋　１／４　＋　１／８　…　→（２）

（２）から（１）を引くと

　Ｅ　≒　１　となります。

よって、平均２回


二つ目は難しいですね。
んー、余裕があったら考えて見ます。
期待しないで待ててくださ〜い。（＾＿＾；）


ふむふむ。なんとなくわかってきたような気が。

どらさん、考えてくれてありがとうございます。
でもちょっと「？」が・・・。

一つ目の期待値Eは

　　　E = 2×(1/2) + 3×(1/4) + 4×(1/8) + …

にならないんですか？
最低でも2回当たるのに平均が2回というのはおかしいかなって思いました。

んで私なりに考えてみて

　　　E = 2×(1/2) + 3×(1/4) + 4×(1/8) + …

　　　　　∞　　　　　 n　
= ?? (n+1)(1/2)
　　　　 n=1

となりますが、これがはっきしいって求められない。
あかん！もう無理！


シグマの式のところずれました。

?狽ﾌn=1から∞まで（n+1）×[（1/2）のn乗]を足す

という意味です。余計わかりにくいかな？

どもども

あーすみません。計算方法間違えていますね。（＾　＾；）
んー、こう考えたらどうでしょう。

何回続くかを考えます。

１回 …                         1
２回 …                         1
３回 …                        1/2
４回 … (1/2)×(1/2)        ＝ 1/4
５回 … (1/2)×(1/2)×(1/2) ＝ 1/8
　　　　　　　　　　　　　：

　Ｅ ＝    1＋1＋(1/2)＋(1/4)＋(1/8) …  →(1)

両辺を２倍して

２Ｅ ＝ 2＋2＋1＋(1/2)＋(1/4)＋(1/8) …  →(2)

(2)から(1)を引いて

　Ｅ ≒ 1＋1＋1 ＝ 3

で平均３回です。
============================================================
なかじんさんの方法は、得られる数量を計算してしまっています。
※わかりにくいかな？

収入を考えるといいですね。
１回の大当たりで得られる金額を仮に５０００円とすると
期待値Ｅの計算は以下のようになります。

Ｅ ＝ 5000×1 ＋ 5000×1 ＋ 5000×(1/2) ＋ 5000×(1/4) …

で平均15000円。大当たり３回と同等になります。

ん？どらさん、ちょっと待ってください。
最初「確変」で当たったときの期待できる大当たり回数が知りたいんです。
最初「単発」で当たって1回で終了というのは考えないで欲しいです。
もしかしてまだ私の質問の仕方が悪かったかもしれません。


だからやっぱり
　　大当たり2回で終わる確率1/2
大当たり3回で終わる確率1/4
大当たり4回で終わる確率1/8
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
となって、期待できる大当たり回数は

　　2 × (1/2) + 3 × (1/4) + 4 × (1/8) + …

となるような気がするんですが。
それとすべての事象（？）の確率を足すと1になるんですよね。

　　1/2 + 1/4 + 1/8 + … ≒ 1

となるから求め方はあっているような気がします。
私はこの考え方から抜け出せません。


今ちょっと思いつきました。

　　 S = 2 × (1/2) + 3 × (1/4) + 4 × (1/8) + …　　　　?@
(1/2)S = 2 × (1/4) + 3 × (1/8) + …　　　　?A

?@から?Aをひいて

　 (1/2)S = 2 × (1/2) + 1/4 + 1/8 + …

両辺2倍して

　　　　S = 2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

ここで1/2 + 1/4 + 1/8 + … ≒ 1だから

　　　　S ≒ 3

で、「確変」を引いた時に期待できる大当たり回数は3回。

どうでしょうか。あってます？



なんか…等比数列とかの話になってるので…
ひじょーに書きにくいんですが…

最初が確変の場合は
Ｅ＝３です。

確変がでたときに、その回を含めてあと何回当たりが続くかの期待値＝Ｅとおきます。

２コ目の当たりが…

単発の確率　1/2
そのときの当たりの連続した回数　2

確変の確率　1/2
２回目の確変以後（含２回目）に何回当たりが続くかの期待値もＥ
つまり当たりの連続回数の期待値　1+Ｅ

そして方程式を解いたら…Ｅ＝３ですよね。

等比数列とやってることは本質的には変わらないんですが…
見てて、抵抗はないでしょ。

ただ、こんな風に楽しないと次のとかすごい大変ですよ。
次のは
最初が確変の場合はＥ＝19/4です。


どもども

私も混乱してしまって、
ネットで調べてしまいました。（＾　＾；）

『期待値の定義』でいうと
なかじんさんの方法で正しかったみたいです。
失礼しました。ｍ（＿＿）ｍ

直感的にも、正解は「３」でいいような気がします。


どらさんありがとうございます。

一つ目は3回であってるとして
二つ目のパターンを今から自力で考えてみます。

みなさんも考えてくれるとうれしいです。


イさんも書き込んでくれてたんですね。
[1795]の書き込みした時[1794]が表示されてなかったんで。

というわけでイさんのを参考にさせてもらうと
一つ目のやつは

　　E = (1/2)×2 + (1/2)×(E+1)

となって、これを解くと

　　E = 3

になるということでしょうか。
確かになるほどって感じですね。

じゃあこれを二つ目のやつにあてはめると・・・

だぁ〜！わからん！
イさん教えてください。

　　

二つ目は、２回目の確変がいつでるか（あるいはでないか）
で分類します。

ーー２／３−−「単発なのでもう１回」ーー２／３ーー「単発なので３回で終了。」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　??−１／３−−「確変で今からＥ回」
ーー１／３−−「確変で今からＥ回」　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
そうすると…

Ｅ＝（１／３）×（１＋Ｅ）＋（４／９）×３＋（２／９）×（２＋Ｅ）
∴Ｅ＝19/4

でどうでしょうか？

一つ目がわかってくれたんなら…これもわかってくれるかと。
このやり方は、厳密には方程式にしていいものかのおそらく深い話があるんですけど
まあいいやってことで。

イさん、ありがとうございます。

> 二つ目は、２回目の確変がいつでるか（あるいはでないか）
> で分類します。
これが思いつかなかった。なるほど、こういう風に分類するとわかりますね。

> このやり方は、厳密には方程式にしていいものかのおそらく深い話があるんですけど
> まあいいやってことで。
これがごっつ気になりますが、深そうなんで聞かないことにします。
いや、でも聞きたい！いや、やめとこ。
いや、でも聞きたい！いや、やめとこ。
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・

これはどこに収束するんやろ・・・。

まぁ目的は達成できたということで済にします。
でももし教えてくれるならレスください。（って結局知りたい俺）


いちおうできるかぎりでおこたえします。
数学が嫌いな人は、これは読まないで下さい。もっと嫌いになります。

これは無限回の話をしているので…
実はＥは収束値にすぎないんですね。
（最初のころ≒を使ってましたよね。）

厳密にやるなら、
残り回数を多くともＮ回で終了とする。このとき
Ｅ[N]＝（１／３）×（１＋Ｅ[N-1]）＋（４／９）×３＋（２／９）×（２＋Ｅ[N-2]）
もしN→∞で収束値があるなら、それをＥとして…

って話なんです。

つまり、収束値で方程式をたてるときは…
「収束値が存在する」ことが仮定にあるわけです。

たとえばですね…
最初の問題で、１回確変になるととなりの台も確変になって自分のものになる。
とかだったら…収束値が存在しないので、こんな風に方程式を解いても無意味なのです。

しかも、収束値が存在しないことをいうのは簡単なこともありますが
存在することを言うのは意外に大変なんですよね。

って…すーごい数学チックになってしまうんで
これ以前のままでそーっとしておきたいです。
（数学嫌いを増やさないためにもね）


むむぅ・・・。やはり深い。
確かに数学ってのは「〜と仮定すると」ってのがよく出てくる気がする。
いや数学に限らず物理とか化学とかにも出てくる。
でも実際は数学ってのは仮定の上に成り立つもんではないとも思う。
きっちり証明されたものの上にどんどん積み重なっていってこそ
存在するもんなんちゃうかなぁ〜。
でもこの証明するってのは確かにムズい。
この問題も感覚的に収束するやろってな感じで考えて方程式立ててるけど、
確かに収束することを証明してるわけではないもんなぁ〜。

っていかにもわかったようなことを言っていますが、
正しいと証明されていない知識の上に乗っかっていることをほざいていますんで
あまり気にしないでください。

終了！


イさんの解き方、とても参考になりました。
最後の収束．．．は、さっぱりですが。
数学っておもしろいですよね。私は、確率の問題が大好きなんです。
面白い問題ありがとうございました。


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。