どっちが正しい？

tak　(2003/07/25(Fri) 20:12:07)

１÷３×３＝？

１÷３＝１/３と考えると答えは１になりますが、
１÷３＝０，３３３・・・と考えると答えは０，９９９・・・になりますよね？
どっちが正しいのでしょうか？
皆さんの意見聞かせてください。



どっちも正しいのでは？（・ｗ・）
電卓で計算すると０．９９９９９９……　になるけど、
この「無限に続く」のをほんとにずっと続けると、
１にどんどん近づいていくから、結局同じ値を示していると考えられる

…てきとーですｗ


どちらが正しいと言えば、０．９９９９・・・の方じゃないですか？
でもほぼ等しいでもいいと思いますが。

０．９９９９＝１となります

証明
　　Ｍ＝０．９９９９９９９９９・・・・・・・
１０Ｍ＝９．９９９９９９９９９・・・・・・・

だから、ー９Ｍ＝ー９
　　　　　　Ｍ＝１

以上

み〜やさんと同意見です


0,99999…がいつまでも続くのなら
どんなに小さい数を加えたとしても
それは１よりも大きい数になる…Ａ

0,9999…が有限なら
それは１よりも小さい数になる…Ｂ

Ａ、Ｂより
１≦0,9999999……≦１
故に、0,9999999……＝１

だから、同じ


どちらも同じですね。
理由のほうは、ほかの方と同じですのでそちらを参照ください。


どうもありがとうございました。
みなさん同じ意見のようなので済！にします。
他の意見がある人は書き込んでください。


0.3333333…という永久に割り切れない数に、「割り切れていない」という前提を無視した状態で普通に３をかけるのでおかしくなるのでは？
正確には　１÷３＝0.33333333…　ではないでしょうから。
「＝」を付けるには、厳密には最後に「余り〜」が必要だと思います。


Ａｚａｌｅａさんの発言について、
>０．９９９９＝１となります
（０．９９９９９９９９９・・・・・・・＝１ということですね）
この二つは限りなく近いだけで厳密に言うと同じではありません。
ε＞0において、εを限りなく0に近づけた時、
1-ε=０．９９９９９９９９９・・・・・・・
と言えます。そして、
>証明
>　　Ｍ＝０．９９９９９９９９９・・・・・・・
M＝1-ε
>１０Ｍ＝９．９９９９９９９９９・・・・・・・
10Ｍ=10(1-ε)=10-10ε
>だから、ー９Ｍ＝ー９
つまり、-9M=-9+9ε
>　　　　　　Ｍ＝１
M=1-ε
まあ、結局元にもどるわけですが、
Ｍ＝１となったのは、εが小さいために途中で切り下げしたために起こることです。
これはコンピュータ上の計算でよく起こります。
例えば、7桁しか処理できない電卓は、9.999999+0.000002に対して、
1と表示して、以下の計算でもそれを1扱いします。
コンピュータでもないのにこのようになったのは、無限に続く・・・というものが
きちんと計算されていないからです。
上記で、
10Ｍ=10-10εと説明しました。
εを限りなく0に近づけているので、10εも0に近づけてはいますが、
ε＞0より、ε＜10εつまり、εよりは10εの方が0に遠い。
すなわち、
10Ｍ=９．９９９９９９９９９・・・・・・・
とは、正確には言わないのです。
もちろん、10εもかなり0に近いので10Mはかなり、10に近づくのですが、
Mが1に近づくほどではありません。
そのため、M-10M=-9Mが-9に正確にはならないのです。
したがって、Mは1に限りなく近いだけで、1ではありません。


えーっと、
こういう議論が起こるのは、ズバリ１０進法だからです。

だから、例えば３進法だと、
　１÷３＝０．１
　０．１×３＝１　（３進法は３倍したら位が１つ上がります）
となり、上記のような議論は起こり得ません。
そのかわり、３進法だと、２で割ると、
　１÷２＝０．１１１・・・
　０．１１１・・・×２＝０，２２２・・・
となって、同じような議論対象になります。
（１０進法では勿論１÷２＝０．５なのでこんな議論対象にはなりませんね）

それで、私の意見ですが、
ＢＲさんと同じです。
（ただ、「より大きい」「より小さい」は「以上」「以下」ですね）

（余談ですが、「済」を忘れずに。。。）



＞カナルシストさん
確かに！
この説明で今まで納得がいかなかったとこを、うまく説明してくれたーって感じです。

takさんの問いに答える感じで応用するなら、
１/３＝0.33333…+ε
としとけば、
３（１/３）＝0.9999…+3εで、このε部分を無視してしまったからでてきた「変な感じ」ということでいいんですかねぇ。

ＢＲさんの説明にも「おーっ！」と思いました。熱い！


時間の都合上後回しにしたのですが、ＢＲさんの説明がよくわかりません。
> 0,99999…がいつまでも続くのなら
> どんなに小さい数を加えたとしても
> それは１よりも大きい数になる…Ａ
１よりも大きい数になるとは限りません。
なぜなら、a=0,99999…とすると、
1-a=bが成立し、（b＞0）
a+b=1　すなわち、0,99999…に小さい数bを加えると1になります。
（１よりも大きい数ではない）
さらに言うと、a+b/2＜1　すなわち、0,99999…に小さい数b/2を加えると1より小さくなります。
>
> 0,9999…が有限なら
> それは１よりも小さい数になる…Ｂ
>
> Ａ、Ｂより
> １≦0,9999999……≦１
上の私の説明で、Ａが否定されているのですが、
そもそもＡでは、
0,9999999……が1より大きいと言っているわけではありません。
したがって、１≦0,9999999……と解釈するものがわかりません。

是非ＢＲさんの考えを知りたいので、解決の済をチェックしません。
それとも、一度済みがついた問題はその後済みをつけなければダメですかね？


なんか熱い議論になってますね(＾＾;)
もう少し続きそうなので済ははずしておきます。

余談ですが明日は長崎ゆめ総体の開会式♪
なんと俺公開演技に出演します☆
つーわけで明日は４：４０に家を出なきゃいけません(涙)
暇な人は見てくださいね(＾＾)
すいません、余談のほうが長くなってしまいました(−−;)


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カナルシストさんの説明にちょっと異議を…

>なぜなら、a=0,99999…とすると、
>1-a=bが成立し、（b＞0）
の部分ですが、これは既に
１＞0.999999…が成り立っている物として考えられているので、
１＝0.999999…が正しいかという議論には無効かと思われます。

全部の議論に目を通す気力はなかったので
たまたま目に付いたそこだけですいません。
私の意見としては１＝0.999999…は正しいに賛成です。

ちゃんとした説明は他の方がなさっておられるので
ちゃんとしてない説明を…
1-0.999999…を考えてみます。
当然答えは0.000000…1になるかと思います。
ここで0<0.000000…1のように見えますが、
0.999999…の小数部分は無限に続きますので
0.000000…1の0の部分も無限に続きます。
つまり、1の存在は永遠に来ません。
よって、1-0.999999…＝0.000000…＝0
より、1=0.999999…
はい、胡散臭さが増しましたね。


　私が思うに無理に数字にするからややこしいと思うんですよね。
たとえば、そこらへんにある棒を３本におってまた並べなおせばもとの棒と同じ長さになる、ぐらいの感覚でいいのではと思います。切るとき粉が出るって話はなしねw。


生煮えさんの発言について、
>>なぜなら、a=0,99999…とすると、
>>1-a=bが成立し、（b＞0）
>の部分ですが、これは既に
>１＞0.999999…が成り立っている物として考えられているので、
>１＝0.999999…が正しいかという議論には無効かと思われます。
了解。考え方変えてみます。
ε＞0に対して、εを限りなく0に近づけたとき、
生煮えさんの言うところの0.000000…1=εとなる。
ε=0が成り立つかどうか。
これについて、1÷εはいくつか考える。
結論を言うと、1÷ε=∞となる。
それでは、1÷0はいくつか。
1÷a=bとは、b×a=1を満たすことが定義づけられている。
言うまでもなく、b×0＝1を満たすbは存在しない。
これにより、ε≠0となる。
（εを限りなく0に近づると言っている時点で0ではないのだが、まあいいか）
すなわち、1-0.999999…＝ε＞0
したがって、1＞0.999999…


> ε＞0に対して、εを限りなく0に近づけたとき、
> 生煮えさんの言うところの0.000000…1=εとなる。
> ε=0が成り立つかどうか。
> これについて、1÷εはいくつか考える。
> 結論を言うと、1÷ε=∞となる。

カナルシストさんの説明では，最初にε＞0を仮定しているのですから、
ε=0が成り立たないのは当然です。
ε=1-0.99999… であるならば、生煮えさんの説明にあるとおり、
ε=0.000000…1>0 ではなく、ε=0.000000…=0 となるので、
1÷ε=∞ ではなく、定義不能となります。
ついでに言えば、ε=0.000000…1 ならば、
1÷ε= 100000…0 となり、∞にはなりません。


> （εを限りなく0に近づると言っている時点で0ではないのだが、まあいいか）

εを限りなく0に近づける操作も、有限回ならば0にはなりませんが、
無限の概念を導入すれば、数学的に厳密にイコールという意味で、0になります。

lim (10^-n)
n→∞

は、≒0 ではなく、=0 です。



う〜む、反論しきれなくなった。穴の多い証明だったというわけですね(^^;

ところで、osunaさんの発言で、
> ついでに言えば、ε=0.000000…1 ならば、
> 1÷ε= 100000…0 となり、∞にはなりません。
ここでいうεって、ε＞0に対して限りなく0に近づけた数ですよね？
（私はそのεを使っていたんですけど）
それだったら、1÷εは無限大になるはずではないですか？
それとも、有限個の0を並べて最後に1をつけたものを言っているのですか？
それだったら確かに、1÷ε= 100000…0となりますが。


みなさんどうもありがとうございます。
arcさんの資料はありがたいのですが、理解できません（−−；）
(記号の意味が全然わかりません。今高２ですが学校で習いますか？）
0,999…＝１というのはわかったので自分なりに納得しましたが・・・
一応済つけますが、書くことがあればどんどんカキコしてください。


項目の右にある、[PDF]で見られましたか？（http://www4.airnet.ne.jp/tmt/mathfaq/0999and1.pdf）

こちらに書いてある内容なら、高２の方なら理解できると思いますが・・・。

この問題は、無限小数を取り入れるため理解し難いのです・・。
数１の最初に習うと思いますが。

では。


> ところで、osunaさんの発言で、
>>ついでに言えば、ε=0.000000…1 ならば、
>>1÷ε= 100000…0 となり、∞にはなりません。
> ここでいうεって、ε＞0に対して限りなく0に近づけた数ですよね？
> （私はそのεを使っていたんですけど）
> それだったら、1÷εは無限大になるはずではないですか？
> それとも、有限個の0を並べて最後に1をつけたものを言っているのですか？
> それだったら確かに、1÷ε= 100000…0となりますが。

私はε=1-0.99999… の意味で使用していました。
で、ε=0 と。

ε=0.000000…1 と、もし、最後に1が来るのでしたら、
間に挟まる0の個数は有限でなくてはなりませんので、
「限りなく0に近づけた数」ではなくなります
(0の個数を増やすことでまだまだ0に近づいていきます)。
そのときは、1/ε= 10000…0 です。

一方、もし無限に0が続くのであれば、最後の桁に1が出てくることはなく、
ε=0.00000… =0 となり、1/εは定義不能です。

カナルシストさんのおっしゃるのは、

lim(1/n) = ∞
n→0

のように、極限操作の形だと思いますが、この場合も、
「(1/n)が＋∞に発散する」という意味であり、
「1/0 = ∞」というわけではありません。
∞は通常の数とは異なりますので、a、bが実数である場合、
a/b=∞ のような形では表現できません。



すいません。済!、付け忘れました。



arcさん、度々ありがとうございます。おかげで理解できました。



osunaさん、勘違いがあったことがよくわかりました。


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。