折り紙

ババロア　(2004/05/03(Mon) 22:01:26)

８cmの正方形の折り紙がある。
これを６回だけ折り、正確な正五角形を作成しなさい。



これは、紙に対して最大限の大きさの正五角形なのかな？


いや、とりあえず正五角形になれば良いので大きさは問いません。
というか大きさも何も一つしかやり方が今の所ないので………


星を作るって事かな？


紙を半分に折る。更に半分、もう一回半分……８cm×１cmにする。
これをくるっと結ぶと、３回の折れ目が出来て、結び目が正五角形
になります……こんなところで。


越智月久さん、正解です。お見事です。
それでは補足問題です。越智月久さんが上記の方法で作成した正五角形の一辺の長さを求めて下さい。　
　　　　




８cm×１cmの帯を結ぶのですから、厚みを考えないとすれば、
できる正五角形の一辺の長さは、１cmかと・・・。


途中計算は省くけど、複雑な計算結果に。
一応 大きな根号の中身は有利化してみた。

√{(10-2√5)／5}

二重根号は外れなさげ。


ぼくさん、正解です。１ｃｍが正解です。
解説はする間でもないですね。

あれ？
正五角形を結ぶんですよね。
     Ａ

Ｂ---------Ｃ


  Ｄ----Ｅ

帯の幅は上記のＢＣとＤＥの幅の距離になって、
辺の長さはＢＤの長さになるから 帯の幅と辺の長さは違うのでは？？
（済はつけたままにしておきます）

> あれ？
> 正五角形を結ぶんですよね。
>      Ａ
> 
> Ｂ---------Ｃ
> 
> 
>   Ｄ----Ｅ
> 
> 帯の幅は上記のＢＣとＤＥの幅の距離になって、
> 辺の長さはＢＤの長さになるから 帯の幅と辺の長さは違うのでは？？
> （済はつけたままにしておきます）

おととさんへ
僕もそう思います。
実際、何ｃｍになるのかは数学苦手なのでわからないのですが、
８ｃｍ×１ｃｍの帯を結んで出来る正五角形の１辺は、
帯を直角ではなく、斜めに折った時の長さだと思うので、
１ｃｍよりは大きくなりそうですよね。

よくわからない説明ですみませんm(__)m

1ｃｍの帯で結んで、結び目が正５角形…
　
ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＤ＝ＤＥ＝ＣＥ＝帯の長さ＝1ｃｍですね
誰か写真でもＵＰしてやって！



一辺1センチにして折ろうとすると、何回折っても四角形にしかならないと思いますが。
とはいえ、申し訳ありませんが僕には正解はわかりません。
「済！」は外さない方が良いのでしょうか･･･とりあえず外さないでおきます。


このサイトの図形を見ても、
どうしても１ｃｍには見えないのですが。
誰か本当の事を教えて下さい。

http://homepage2.nifty.com/tangoh/musubime1.html


すみません【済】つけ忘れました。


正五角形の内角の合計は５４０°
ひとつの内角は７２°
作るのに使った紙は長さ８cm、幅１cm

これを使って関数電卓で計算したところ
一辺の長さ＝1.051462224238267212051…
となりました・・・

一応、済みはしときます



えーと、

√{(10-2√5)／5}＝1.051462224238267212051…

です。検算できて 安心しました。
お互い、計算あってたみたいですね。

そうみたいですね〜　＞おととさん

ちなみに自分は・・・

　　　Ａ

Ｂ----------Ｅ
 　　　　 | /　←こういうふうに高さ１cm、角度がそれぞれ
          |/　　 １８°、７２°、９０°の三角形を考え、
　 Ｃ----Ｄ　　　そこからsinを使って出しました

結構 有名な事実ですが
正五角形の1辺を１とすると対角線の長さは黄金比g=(1+√5)/2になります。
ということは湯歌さんの図で三角形BDEは3辺の長さが1,g,gになるので
あとは 三平方の定理をつかえば何とか帯の幅が求まります。
gを gのまま計算して 後からgの満たす2次方程式g^2＝g+1を使うと計算が楽です。
今回は 帯の幅のほうが１ｃｍだったので 最後に逆数にします。

パズルじゃなくて 数学になってしまいましたね。すみません。



ぐは、最後に済を忘れました。


1ｃｍの帯を結んで…
つまり1ｃｍだろ？
リンクの図で言うと、AB=BC=CD=DE=AEですよね？
これらは帯の長さにあたるはずです
ですから1ｃｍでいいはずですが？



>これらは帯の長さにあたるはずです
長さというか幅のことを言っているのでしょうが、これが間違い。
実際に折ってみて下さい。


やっぱり、そうですよね。
みなさんのおかげで、
答えが１ｃｍじゃないって事に、
確信が持てました。

が、この問題、
下記のサイトに出ていたのですが・・・、

http://www.uda30.com/QUIZ99/Quiz-13.htm

この出題者も、１辺の長さは１ｃｍと断言しています。
何故なんでしょうね？

済つけます。

この正五角形の一辺の長さは、折るのに使った紙の幅とは違います
具体的に言うと、
↓コレをその紙だとすると

 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿|　｝この幅は１cmです


しかし、実際の辺の長さはこの紙の縦方向に対して
１８°傾いたものになります。
なので先のレスにも書いたとおり
一辺の長さ＝1.051462224238267212051…
となります。

しかし、見れば分かると思いますが、この答えはほぼ１cmですので
１cmとして回答されているのかもしれませんね・・・。

ちなみに１８°傾いているのは

　　　Ａ

Ｂ----------Ｅ
 　　　　 | /　　この図で分かると思います・・。
          |/　　 正五角形のひとつの角の角度＝108°
　 Ｃ----Ｄ　　　よって　108°- 90°= 18°

はい、僕もここまでこの問題が発展するとは思ってもいませんでした。
僕の考えでは横が１ｃｍなのだから折っても１ｃｍという事ではないでしょうか？
じゅうベえさんの通りAB=BC=CD=DE=AEになるわけでそうなると１ｃｍになります。うまく説明できませんがおそらく納得してくれる人は２、３人しかいないかも知れませんが、それでも答は１ｃｍなのだとです。皆さん、ご了承下さい。

ではこう言えばわかりますかね？

幅１cmの紙を例えば次のように折ったとします。
　

　　   ＿ Ａ
　　　｜ ｜
　　　｜ ｜
　　　｜ ｜
　　　｜ ｜
　　　｜ ｜
　　　｜ ｜　　　 
　　 Ｃ￣ Ｂ

(ちょうど重なるように半分に折ったイメージで考えて下さい)
∠ＡＢＣ＝90°です。
ＢＣの長さは1cmです。
これは異論無いでしょう。無いとして次に進みます。

　Ａ
／＼　　　　　　／＼
＼　＼　　　　／　／
　＼　＼　　／　／
　　＼　＼／　／
　　　＼　＼／
　　　Ｃ￣￣Ｂ

今度は∠ＡＢＣ＝45°です。
ＢＣの長さは√2cmになります。
これも異論無いですね。さて次。

　  Ａ
　 /ヽ 　 　/ヽ
　ヽ ヽ  　/　/
　 ヽ ヽ  /  /
　  ヽ ヽ/  /
　　 ヽ ヽ  /
      ヽ ヽ/     
　　　Ｃ￣￣Ｂ

(図が汚いのはご愛嬌ということでお願いします。)
∠ＡＢＣ＝60°とします。
ＢＣ＝2/√3cmです。
図が汚いので異論があるかもしれませんが、計算すると確かに2/√3cmになります。

このように、角度を変えていくとＢＣの長さも変わるわけです。
そして、その長さが1cmを下回る事はありません。
さらに、計算するとわかると思いますがＢＣが1cmになるのは∠ＡＢＣ＝90°のときだけです。
つまり、その角度が90°でない正五角形のときは1cmより長くなるわけです。
(結局わかりにくくなってしまった気もしますが説明終了)

ババロアさんこんばんは。
１cmになるということは、結び目をほどいたときにできた折り目の後が、
直角になるはずです。
逆に、直角に折り目をつけるだけで結ぶことはできないので、1cmになりません。

ババロアさんは、実際に結んでみましたか。結んでみたんだったら、ほどいてみてください。折り目が、直角にならないと思います。

それでも１cmだったら、なんか、違う結び方があるのかもしれません。

（済は、残しておきますが、もし良ければ返事をください。）



ああ〜そうだね、勘違いしてるわ…
AB=BC=CD=DE=AEは正六角形だから当たり前だが
帯の幅の1ｃｍじゃないね
計算は面倒なので割愛ｗ

>BBQさん
（もし長方形の紙で折るなら）
60度のときも１ｃｍではないと思われます。2/√3cmかな。

＞算するとわかると思いますがＢＣが1cmになるのは∠ＡＢＣ＝90°,60°のときだけです。
６０°は違うね
９０°だけ1ｃｍだね
（最初と違うやんけ〜と、言わないでねｗ）


図を描くのに予想以上の時間がかかってよく考えずに送信してしまいました。
すいません。訂正しておきます。


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。