「コインとバネ秤」
ビシバシ (2004/08/19(Thu) 08:04:00)
コインと天秤に続き、コインとバネ秤です。
TYPICAL（ごく最近投稿された方も）とは
思いますが、拡張問題も用意しました。
「コインとバネ秤」
いま、かますのようなでっかい袋に
金貨がぎっしり詰まっているものが、
１０袋ある（A〜J）とする。
ところが ある袋の金貨は全部偽物
なのだ。
どの袋が偽物金貨の袋であるか、下
記の条件下＋バネ秤を一回使うだけ
で、見破ってほしい。
本物の金貨の重さは１０ｇとする。
１）偽物の袋は１個だけ、
偽物金貨は、９ｇ（本物より１ｇ軽い）
の場合
２）偽物の袋が幾つあるか不明
偽物金貨は、９ｇ（本物より１ｇ軽い）
の場合
３）偽物の袋が幾つあるか不明
偽物金貨は、９ｇか１１ｇ
の場合
１）２）は、マーチンガードナーの本で、
見た記憶があるのですが、浚えませんでした。
１）は、かの「頭の体操」にも出ていますね。
３）の拡張は、自前です。解答も前から思案
しておったのですが、最近考え直すと意外に
あっさり解けたので、諸賢に供することにし
ました。
なお、この手の問題ではお約束ですが、
袋には、多量の金貨（もしくは偽物）が
入っていて、あなたのご希望の枚数を取
り出せる。
バネ秤は、大量の金貨を載せるに十分な
サイズをもち、併せ信じられないくらい
精度が良い。
ものとします。
ほにゃみ (2004/08/19(Thu) 11:18:38)
こんにちは。
1）だけ。。。
順番にＡの袋から１枚Ｂの袋から２枚Ｃの袋から３枚Ｄの袋から４枚・・・Ｊの袋から１０枚取り
バネ秤で重さをはかります。
すべて本物なら合計で５５０ｇになるはずですが、1袋だけ９ｇの偽物金貨ですから
５５０g-計量した重さで何番目の袋に偽物の金貨が入っているかわかります。
☆↓こんなふうになるはずですが☆
Ａの袋が９ｇの金貨なら
５５０ｇ-５４９ｇ＝１→１番目（Ａ）の袋が偽物金貨
Ｂの袋が９ｇの金貨なら
５５０ｇ-５４８ｇ＝２→２番目（Ｂ）の袋が偽物金貨
Ｃの袋が９ｇの金貨なら
５５０ｇ-５４７ｇ＝３→３番目（Ｃ）の袋が偽物金貨
・
・
・
Ｊの袋が９ｇの金貨なら
５５０ｇ-５４０ｇ＝１０→１０番目（Ｊ）の袋が偽物金貨
ですかね？
おほほ (2004/08/19(Thu) 12:28:46)
こんにちわです。
２番わかりました〜！
説明の際に１０と９ではわかりづらいんで、１と０（実際には０はありえませんがあくまで計算上に使用するだけなので気にしないでください）でやりますね。
まず、Ａ〜Ｊから倍倍になるようにコインをとります。
Ａ＝２、Ｂ＝４、Ｃ＝８、Ｄ＝１６、Ｅ＝３２、Ｆ＝６４、Ｇ＝１２８、Ｈ＝２５６
Ｉ＝５１２、Ｊ＝１０２４ってな感じです。
ちなみに、上の合計は２０４６になります。
んで、バネ秤にのせて結果をみます。仮に結果が１９１０としたとき、合計値との差が
１３６になります。あとは、上の２〜１０２４の数字を使って１３６になる組み合わせを探します。その組み合わせで使用したものが偽物です。ちなみに、この例だと、ＣとＧが偽物になります。
多分これであってると思います。説明わかりづらいですが勘弁を・・・
宮月 (2004/08/19(Thu) 12:35:32)
２）だけ。
Ａから順に１枚・２枚・４枚・８枚・１６枚・３２枚・６４枚・１２８枚・２５６枚・５１２枚出します。
それをすべてバネ秤ではかります。
すべて本物なら、重さは１０２３０ｇになります。
偽物が入っている場合はそれより軽くなります。
本来より１ｇ軽い場合はＡの袋が偽物。
２ｇの場合はＢの袋が偽物。
３ｇの場合はＡとＢの袋が偽物。
４ｇの場合はＣの袋が偽物。
・
・
１００ｇの場合はＣとＦとＧの袋が偽物。
・
・
５００ｇの場合はＣとＥとＦとＧとＨとＩの袋が偽物。
・
・
１０２３ｇの場合はすべてが偽物。
２進法の応用です。
宮月 (2004/08/19(Thu) 13:01:58)
３）
Ａから順に１枚・３枚・９枚・２７枚・８１枚・２７３枚・８１９枚・２４５７枚・７３７１枚・２２１１３枚出します。
それをすべてバネ秤ではかります。
すべて本物なら、重さは３３１５４０ｇになります。
偽物がある場合は差が出ますのでそれを元のして偽物を探します。
差が１ｇならＡが偽物。
２ｇならＡとＢが偽物。（ＡとＢの重さは違う）
３ｇならＢが偽物。
４ｇならＡとＢが偽物。（ＡとＢの重さは同じ）
５ｇならＡとＢとＣが偽物。（ＣとＡ・Ｂの重さは違う）
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・
３３１５４ｇなら全部偽物。
今度は３進法の応用です。
natsu (2004/08/19(Thu) 19:40:21)
ビシバシさん、こんばんは。コイン系の問題、大好きです。３）のオリジナル問題すごい面白かったです（瞬殺でしたけどw）。いろいろ、問題を出し合えるとうれしいです。
答えが出てしまっているんで（すごい数になるんですね）、私の考え方をかきます。
少し、簡単にするために本物1g,偽物0gとします。9gをあらかじめ引いておきます。
157+153+156+150＝150x4+(7+3+6+0) とするのと同じ考え方。
>１）偽物の袋は１個だけ、偽物金貨は、９ｇ（本物より１ｇ軽い）の場合
10袋(a,b,c,d,e,f,g,h,I,j=0gまたは1g)のうちの1袋だけが偽物なんで、10通りの可能性がある。
従って、10通りの場合分けのできるのせかたをすればいい。
ａの袋から1個のせるのを1aと書きます。aが
1a+2b+3c+4d+5e+6f+7g+8h+9i+10j （ほにゃみさまの考え方）
で、a〜jのどれかが0で他が1になると10通りできる。
または
0a+1b+2c+3d+4e+5f+6g+7h+8i+9j（のせるかずが少なくてすむ）
ちょっとひねって、
0a+3b+7c+9d+11e+12f+18g+34h+50i+99j
など、とにかくのせる数が異なればなんでもOK.
>２）偽物の袋が幾つあるか不明 偽物金貨は、９ｇ（本物より１ｇ軽い）の場合
各袋は、本物または偽物の２通りあるから、2の10乗通りの可能性があるので、2の10乗通りの場合分けのできるのせかたをすればいい。2^3は、2の3乗の意味です。
1a+2b+(2^2)c+(2^3)d+...+(2^9)j
この場合、0gから1+2+4+...+2^9=2^10-1までの2^10通りある。以下省略。
>３）偽物の袋が幾つあるか不明 偽物金貨は、９ｇか１１ｇの場合
この場合は、0g,1g,2gの３種類の可能性があるということです。
従って、3^10通りになるから。
1a+3b+(3^2)c+(3^3)d+...+(3^9)j となります。
宮月さんの考え方と一緒です。
ここで、さらに問題を拡張して、
３）偽物の袋が幾つあるか不明、偽物金貨は、９ｇか１２ｇの場合としたらどうなるでしょうか。（別スレたてなくてもいいよね）
（偽物が８gか１３gだと、もっと複雑かな。）
宮月 (2004/08/19(Thu) 23:47:43)
え〜、問い３の答えで初歩的なミスがありました。
＞Ａから順に１枚・３枚・９枚・２７枚・８１枚・２７３枚・８１９枚・２４５７枚・７３７１枚・２２１１３枚出します。
８１×３＝２４３ですね。
そこからすべて数字が違います。
正確には順に１枚・３枚・９枚・２７枚・８１枚・２４３枚・７２９枚・２，１８７枚・６，５６１枚・１９，６８５枚です。
すべて本物なら２９５，２４０ｇになります。
解き方は一緒です。
natsuさんへ
個人的にですが【９ｇと１３ｇ】の方がいやらしいと思いますよ。
ビシバシ (2004/08/20(Fri) 02:03:29)
みなさままいどどうも、
楽しんでいただけたようで幸甚です。
本件、解答は諸賢ご指摘のとおりでして、
３）は、３進法
で、解けるのであります。
（ということに、わたくし最近気づいて
みんなに吹聴したかったわけね。）
ところで、拡張問題が出ているときは、
済 にしないのがルールなんでしょうか？
追補
＞ ３）偽物の袋が幾つあるか不明
＞ 偽物金貨は、９ｇか１１ｇ
は、
３）偽物の袋が幾つあるか不明
偽物金貨は、９ｇか１１ｇ
のどちらかで、両方の偽物が
存在する可能性が有る。
ただし、一つの袋に入って
いるコインは同じ重さである。
に修正させていただきます。
(2004/08/20(Fri) 13:01:11)
>ところで、拡張問題が出ているときは、
>済 にしないのがルールなんでしょうか？
ビシバシさんが決めればいいかと思います
もう関わりたくなければ、済みにしてしまったほうがいいですね
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
