水の移し変え
カナルシスト (2003/04/04(Fri) 10:20:59)
2リットルの水が入った容器Aと同じ大きさで空の容器Bとがあります。
1回目に容器Aに入っている水の1/2を容器Bに移します。
2回目に容器Bに入っている水の1/3を容器Aに移します。
3回目に容器Aに入っている水の1/4を容器Bに移します。
4回目に容器Bに入っている水の1/5を容器Aに・・・・・・
と、この方法で次々と移していきます。
27182818284590452353602874713526624977回目にＡからＢへ移した時、Ｂの容器には何リットルの水が入っているでしょうか？
GP02 (2003/04/04(Fri) 10:49:14)
１リットルくらいですか？
カナルシスト (2003/04/04(Fri) 11:01:38)
GP02さん、正確な数値を出して下さい。
だんご (2003/04/04(Fri) 11:10:06)
１リットル。
Ｓｅｒａ.Ａ (2003/04/04(Fri) 11:32:05)
この問題って、複雑な計算しなくても、解けますよね。
（私は解けてないけど）
猿山の猿 (2003/04/04(Fri) 11:52:59)
27182818284590452353602874713526624977回目なら、ぴったり１リットルですね。
27182818284590452353602874713526624978回目なら、計算が大変だけど。
natsu (2003/04/04(Fri) 12:22:15)
ほんとだあ、すごいこの問題
(1+1/n) * (1-1/(n+1)) =1 で、奇数回目はいつも ぴったり1リットル
ちなみに、
27182818284590452353602874713526624978回目なら、
Aは、1+1/27182818284590452353602874713526624978 確かにめんどう
（ここから、後ろ、追加しました）
分数なら、A は、
27182818284590452353602874713526624979/27182818284590452353602874713526624978
Bは、
27182818284590452353602874713526624977/27182818284590452353602874713526624978
ですね。
カナルシスト (2003/04/04(Fri) 16:08:19)
だんごさん、猿山の猿さん、natsuさん、正解です。
実際数回解けば、法則性がわかると思います。
数学的帰納法だと、
問題の方法で2n-1回目、A,Bは1リットル（nは自然数）・・・(**)
となることを証明する。
(1)n=1のとき、
2n-1=1より、1回目は明らかにA,Bは1リットル。
したがって、n=1のとき(**)は成り立つ。
(2)n=kのとき、すなわち2k-1回目、(**)が成り立つと仮定する。(kは自然数)
n=k+1のとき、すなわち2(k+1)-1=2k+1回目、(**)が成り立つか判定する。
2k-1回目は、(*)が成り立つので、A,Bは1リットル。
2k回目は、容器Bに入っている水の1/(2k+1)を容器Aに移す。すなわち、
B = 1 - 1/(2k+1) = 2k/(2k+1)
A = 1 + 1/(2k+1) = (2k+2)/(2k+1)
2k+1回目、容器Aに入っている水の1/(2k+2)を容器Bに移す。すなわち、
A = (2k+2)/(2k+1) - (2k+2)/(2k+1) * 1/(2k+2)
= (2k+2)/(2k+1) - 1/(2k+1) = (2k+1)/(2k+1) = 1
B = 2k/(2k+1) + 1/(2k+1) = (2k+1)/(2k+1) = 1
したがって、2k+1回目、すなわちn=k+1のときも(**)は成り立つ。
(1)(2)から数学的帰納法より、
すべての自然数nに対して、問題の方法で2n-1回目、A,Bは1リットルとなる。
natsu (2003/04/04(Fri) 18:56:35)
数学的帰納法というのはよく知りませんが、大変そうですね。
式は、同じみたいなんで、私のもあってるんでしょう。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
