コインの問題（中級編）
natsu (2004/08/05(Thu) 18:20:33)
コインの問題です（教えて!&作って!からやってきました）。
何枚かあるコインのなかで、１枚だけ偽物があります。本物のコインはすべて同じ重さで、偽物は、本物より軽いか重いかはわかりません（同じではない）。
天秤をつかって、どれが、偽物かを判別します（どれが偽物かが判別できれば、重いか軽いかは判別できなくていいです）。４回天秤を使っていい場合、最大何枚のコインまで判別することができるでしょうか。
（１）他のコインを使ってはいけない場合
（２）本物とわかっているコインが別にある場合
キョウ (2004/08/06(Fri) 15:18:38)
natsuさん、どうも。
このような問題は苦手なのですが、上げついでに
（２）だけ挑戦します。（直感で）
１回目：何枚かあるコインの半分と本物と解っているコインを天秤に載せる。
↓（この時点でコイン全体の５０％が本物と解る）
２回目：上記で偽者がある方の半分を上記と同様に天秤に載せる。
↓（この時点でコイン全体の７５％が本物と解る）
３回目：２回目と同様に半分載せる。
↓（この時点でコイン全体の８７．５％が本物と解る）
４回目：これも同様に半分載せる。
従って、ある枚数全体の約９４％が本物と解る。（自信なしです．．．）
キョウ (2004/08/06(Fri) 15:35:58)
natsuさん、どうも。連続スイマセン。
苦手と言いながら考えているキョウです。
次は（１）に挑戦します。
（１）はこの手の問題の基本である３等分で考えました。
１回目：３等分したうちの２組を天秤に載せる。
↓（最大何枚か？との問題なので釣り合ったと考えますと
この時点で全体の約６７％が本物と解る）
２回目：上記で偽物が入っている組をまたまた３等分し、上記と同様にする。
↓（釣り合ったと考え、この時点で約８９％が本物と解る）
３回目：２回目の同様に３等分し２組載せる。
↓（釣り合ったと考え、この時点で約９６％が本物と解る）
４回目：３回目と同様。
従って、ある枚数全体の約９８％が本物と解る。
natsu (2004/08/06(Fri) 20:11:54)
キョウさん。どうもありがとうございます。確率的な考え方すばらしいと思います。（私もこの考え方をつかわせていただきます。）
さて、キョウさんの解答だと、分数にあらわして、（２）は15/16、（１）は、80/81ということになり、
（１）は81まい、（２）は16まいの判断ができるということになりますね。
残念なんですが違います。
少なくとも、（２）の方が他のコインを使っていいので、たくさんのコインの判断ができます（パーセントが高くなる）。
（１）は、もしも、偽コインが軽いということがわかっていたら正解です。81枚の中から選ぶことができます。ただ、軽いか、重いかがわからないので、この場合は、違うことになります。運良く釣り合った場合だけを考えずに、運悪く釣り合わなかった場合も考えてください。
最大何枚かという私の書き方が、わかりにくかったのかもしれませんが、この手の問題では、いつも運が悪い場合を考えてください。もし運が良かったら、（２）なんか、何枚コインがあっても天秤１回でできますので（最初に、１個をのぞいてすべてをわかっているものと比較して、釣り合えば残りの１個が偽物）。
（２）は、半分ずつしかのせてないので、もっといっぱいのせた方がいいです。
ここまで、考えていただけたので、後一息だと思います（なまいきなことを言ってすみません）。最初は、天秤２回で何枚まで判断できるかを考えてみてください。（もう一回レスくれるとうれしいな）
キョウ (2004/08/06(Fri) 23:46:25)
natsuさんどうも。
（１）だけ再度挑戦します。
とりあえず３等分します。
１回目：２組載せるも釣り合わない
２回目：別の２組載せて釣り合う（６７％解る）
３回目：残った１組をまた３分割するも、１回目と同様釣り合わない。
４回目：釣り合う。（約８９％が本物と解る）
従って、８／９、９枚ですかね？
natsu (2004/08/07(Sat) 01:46:30)
キョウさん、どうもです。挑戦していただきとてもうれしいです。
残念ながら３等分しません。
でも、３つのグループ（A,B,C）にわけます。それぞれ個数は、n,n,mとします。
（１）AとBが釣り合わないばあい、２nこの怪しいもの（だけど重いか軽いかはわかってるもの）が残ります。
（２）AとBが釣り合ったばあい、mこの怪しいもの（重いか軽いかもわからないもの）が残ります。
n,mはそれぞれ、あと３回でわかる数はいくつでしょうかというのが問題です。
（ひんと）
１回天秤を使った場合、右が下がる、左が下がる、釣り合うの３通りに分けられるので、３個までを判別できます。
例えば、４この怪しいものがあって、重い可能性があるのをAB、軽い可能性があるのをCDとします。
このとき、Aが重い、Bが重い、Cが軽い、Dが軽いの４通りの可能性があるので、１回では絶対判別できません。
３この怪しいものがあって、重い可能性があるのをAB、軽い可能性があるのをCとします。このとき、Aが重い、Bが重い、Cが軽いの３通りの可能性があるので、１回で判別できる可能性があります。この場合、AとBを右と左にのせると、
右下がりでAが重い、左下がりでBが重い、釣り合えばCが軽いとうまく３つの場合に分けることができます。
２個の怪しいもの（A,B）があって、重いか軽いかわからないとします。このとき、Aが重い、Aが軽い、Bが重い、Bが軽いの４通りもあるので、１回では無理そうなんですが。重いか軽いかは言わなくていいのであれば、（Aが重いか軽い）、(Bが重いか軽い)の２通りどちらかになります。この場合は、わかっている別のコインを持ってくれば、それとA（左側）を比べて、右下がりでAが軽い、左下がりでAが重い、釣り合えばBが重いか軽いとうまく１回で判別できます。
今度は、３個の怪しいもの（A,B,C）があって、重いか軽いかわからないとします。このとき、Aが重い、Aが軽い、Bが重い、Bが軽い、Cが重い、Cが重いの６通りもありますが、さっきと同じように（Aが重いか軽い）、(Bが重いか軽い)、(Cが重いか軽い)の３通りになります。これをうまく判別するには、右下がりで、（Aが重いか軽い）、左下がりで(Bが重いか軽い)、釣り合えば(Cが重いか軽い)とならないといけませんが、これは無理です。（釣り合った場合以外は、重いか軽いという判定はできません。）
これを基本として、あとは、１回では３つの場合分け、２回では３×３＝９つの場合分け、４回では、３の４乗＝８１の場合分けと考えると、解けます。
釣り合った場合の考え方が難しいんですよね。文章で説明するのが難しいです。
toshi (2004/08/07(Sat) 01:21:32)
初めてこの掲示板に来ました
パズルなぞなぞ系の一番上にあったので挑戦してみます
とりあえず（１）を挑戦します
２回での限界は１、１、１に分ける３枚
３回での限界は４、４、５に分ける１３枚
３回では４と４を計り釣り合えば
４枚のうちの３枚と５枚のうちの３枚を計る
傾けば４、４から１枚と２枚を取り除き
なおかつ取り除いた方から１枚もう片方に移動させ
５から同数になるように加える。
この場合重くも軽くも無いコインが１枚あれば１４枚判別できるので
４回の場合は
１３、１３、１４の４０枚だと思います
かなりあてずっぽうです。
natsu (2004/08/07(Sat) 02:13:21)
toshiさん、どうもありがとうございます。あてずっぽうでは、できませんので、大正解です。２回では、３枚でなくて４枚（１、１、２）ですけど。
さっきのヒントですけど、かえってわからなくなるので、あまり気にしないでください。
感じとしては、
３の２乗＝９ ＞＝ ４枚×２
３の３乗＝２７ ＞＝ １３枚×２
３の４乗＝８１ ＞＝ ４０枚×２
なんですけど、できる可能性があるということを言ってるだけなんで、できるかどうかの証明しないといけないんですよね。
どうして、１３、１３、１４になるかをどなたか説明していただけますか。
よろしくお願いします。
natsu (2004/08/09(Mon) 00:30:57)
下がってしまったんで、とりあえず答えを
（１）他のコインを使ってはいけない場合：４０枚
（２）本物とわかっているコインが別にある場合：４１枚
でした。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
