陸上トラック問題
越智月久 (2004/06/14(Mon) 19:23:33)
１：１００ｍ競走をするのに、１周１００ｍのトラックですること
になった。
セパレート・コースで１人分の幅は２ｍである、１番内側の人は
そのままでいいが、２番目の人は２ｍ×３．１４だけ１番内側の人
よりも前からスタートする。さて、この競走が７、８人ならともか
く、16人も一度に走ることになった。すると、最後の16人目は、
１６ｍ×３．１４＝１００．４８ｍ……つまり、走らなくても１位
になってしまうというのだ。なぜこんな間違いが起こってしまった
のだろう。
２：同様に、４００ｍ走を４００ｍのトラックで行うのに熟練した
競技役員がいた。今回は屋内競技場の完成記念で、１周２００ｍの
トラックで４００ｍ走が行われることになった。
「トラックの長さが半分になるのだから、ずらす距離もいつもの半
分でいいはずだ。しかし、２周するのだから、その倍になる。つま
り、いつもの４００ｍ走と同じだけずらしておけば、正しいレース
が成立する」
さて、レースが始まってびっくり、セパレートコースを走るのは
１周目だけで、２周目は自由に走っていいというルールになってい
たのだ……
どういう結果になったのか、判断してほしい。
１６７号機 (2004/06/14(Mon) 20:16:00)
１：１６人目が走るコースは１人目が走るコースよりも長くなっているので、
１００．４８ｍ前にずらしてもゴール地点より向こうからスタートすること
にはなりません。（というよりは、１００．４８ｍ前にずらすのは走る距離
を１００ｍにするために行われる事なので・・・）
ところですみません、２人目が１人目より２ｍ×３．１４だけ前から走ると
いうことは、１６人目は（２ｍ×１５×３．１４＝）９４．２ｍ前から
走ることになるのではないでしょうか。また、１６ｍ×３．１４は
５０．２４ｍだと思いますが・・・（色々と失礼致しました）
２：「スタート時の場所が外側だった順にゴールする」（もちろん、選手にも
よりますが・・・）
もしも２周目もセパレートコースを走るとすると、全員走る距離は同じに
なります。（競技役員の言う通り）
しかし、ここではセパレートコースを走るのは１周目だけです。
このレースが１周だけで終わるとすると、２周分前に出ている外側の
選手ほどスタート時に出た分の半分だけ有利になります。
この後自由コースがあり、その時は内側にいた選手の方が有利になります
が、それよりも外側の有利さの方が大きいように思います。
star (2004/06/14(Mon) 22:42:21)
１：トラックっていうのは通常、長方形の両端に半円をつけたような形をしてますよね。だから、単純に円みたいに計算してはいけない（ようなきがする）。
２：真ん中らへんの選手、内側の選手、外側の選手の順にゴールする。
真ん中の選手がセパレートコース時のリードを保ったまま自由コースにいけるけど、外側の選手は抜けないでしょう。
かむ (2004/06/15(Tue) 12:54:45)
１．だけですが
円周＝直径×円周率(越智さんの定義では3.14)
書いててこの公式があってるのか不安で不安で仕方ないですがｗ
starさんの答えの通りトラックは正円ではないですが正円だと仮定して
167号機さんの書かれてる通り16人目の人は最内の人の30m離れたトコにいる
1人目=0m、2人目=2m、3人目=4m、・・・、n人目=2*(n-1)m
上記の差異は円の半径に対するものなので
16人目の人の走るコースは直径にすると60m違う円になる
以上から最内の直径X、16人目のトラックの円周Yは
100=X*3.14
Y=(X+60)*3.14
Y=288.4
16人目の方は一周288.4mのトラックの100m分走るには188.4m前にいないといけませんね
７７４ (2004/06/15(Tue) 15:13:58)
越智月久さん、こんにちわ。
１だけで、しかも、
自信なしですが、
私の考えを一つ…
>すると、最後の16人目は、16ｍ×3.14＝100.48ｍ
>……つまり、走らなくても１位になってしまうというのだ。
>なぜこんな間違いが起こってしまったのだろう。
16m×3.14が100.48mじゃなくて、50.24mであろうが、
16人目の人は１人目の人より前から走らなければいけない訳で、
それがたとえゴールの向こう側だったとしても、
結局は、どの人も100mを走らなければならない訳で、
問題文の走らなくても１位になってしまうというのが、
間違いなのではないでしょうか？
猿山の猿 (2004/06/15(Tue) 17:25:50)
1.（トラックが正円として）
一番内側の人の走るトラックが一周100mだとすれば、
一番外側を走る人は、
直径が、2m巾×15人分×2も大きくなりますから、
円周が、288.4mになります。
したがって、最後の16人目の人は、たとえ100m前から走っても、
ゴールまで、あと188mも走らなければならず、
「走らなくても一位」どころか、おそらく、ビリになるのでは？
つまり、前からスタートする距離は、２ｍ×３．１４ではなく、
４ｍ×３．１４にすべきなのでは？
xevs (2004/06/15(Tue) 17:30:10)
正円かどうかはスタート位置の差には関係ありません。
弧状に曲がるのならば途中に直線が入っていても、
スタート位置の差はコース幅だけで決まります。
越智月久 (2004/06/16(Wed) 09:31:49)
１：これは１７人目という問題でしたね。もちろん、実際のコース
が１００ｍ＋３．１４×ｎ（幅）ということになるので、１００ｍ
前からスタートしても走る距離は変わりません。
２：まず役員のミスは、１周の距離がどうであっても、セパレート
コースの誤差は変化がないということを忘れています。
１ｍの円周から半径１ｍ伸ばしても、地球の円周から半径１ｍを
伸ばしても、増える距離は増えた直径×３．１４なのです。
問題の役員は、半分にして、また２倍したのですから、結果オー
ライで、１周だけのセパレートコースとしては全く問題が無くなっ
ていたのです。
まあ、クイズなら、外側の人ほど内側に駆け込むのが大変だとい
うことになるでしょうが、数学的には、何の問題もなくレースは
終了したはずです。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
