クイズ・モンティホール？

natsu　(2003/07/17(Thu) 23:47:46)

rimseさんの問題、面白かったんで、ごめんなさい。

司会者「ここにＡ、Ｂ、Ｃの３つの箱があります。このなかのどれか１つに賞品が入っています。あとのふたつは空箱です。見事賞品の入っている箱を開けることができたらその賞品を差し上げます。」
挑戦者「全く見当がつきません。」
司会者「ではヒントを差し上げましょう。とりあえず好きな箱を２つ選んでください。私はあなたが選んだ２つのうちどちらか１つを開けます。私が開けるのは必ず空箱です。もちろん私はどの箱に賞品が入っているか知っています。」
挑戦者「じゃあＢかＣのどちらかを開けてください。」
司会者「ではＣを開けます。ご覧の通りＣは空箱です。さあ、ここで最終選択です。もうヒントは差し上げられません。ＡかＢ、どちらかの箱を開けてください。」
挑戦者「じゃあＢを開けます。」

（１）A,B,Cの箱に、入っている確率がそれぞれ１／３ずつのときには、挑戦者が当たる確率は、いくつでしょうか。（この答えは、教えて!&作って!に出てます）
（２）司会者が、Ａに多く当たりを入れて、Ｃに少なく入れる場合（挑戦者はそれを知らない）、挑戦者の当たる確率はどうなるでしょうか。
（３）挑戦者が、Ａに多く当たりを入れて、Ｃに少なく入れることを知ってる場合、どのような作戦をとったらいいでしょうか。


２や３はどれくらい「多く」いれるのかが問題ですね。
Ａ：Ｂ：Ｃ＝ａ：ｂ：ｃの確率で入っているとします。
ＢとＣを選ぶとその一方が開けられるのですが、
このときの確率を考えると、あたかもＢＣという箱があって
Ａ：ＢＣ＝ａ：ｂ＋ｃの確率で入っているような感じになります。

したがって（３）において、上記の確率がａ＞ｂ＞ｃということがわかっているなら、
最初にＡとＢを選ぶのが正しい作戦だったということになりますね。



この問題用に改造した新兵器「クイズ・モンティホール２」を実戦投入しましょうか。
http://sendai.cool.ne.jp/rimse/

でもこれを完成させた時点で力尽きたので解答はまた今度にさせていただきます。



xevsさん。なかなか、いいですね。
rimseさん。新兵器の回答お待ちしてます。
ああ、夏休みだ。

とりあえずA:B:Cを3:2:1で試してみました。
試行回数が各50回と少ないですが。
開ける箱を２つ選び、その２つのうち開かなかった方を選ぶという方法で試してみました。

A・Bのどちらかを開ける：84%
A・Cのどちらかを開ける：70%
B・Cのどちらかを開ける：50%

そもそもB・Cの場合は実践するまでもなくもともと確率50%のAを選ばないという時点で間違ってるのですが。

この結果だけで判断すれば、
(3)はA・Bのどちらかを開けてもらってからその２つのうち開かなかった方を選ぶという方法が得策です。

答えても意味ないですが、
(1)は2/3ですね。



(2)は、挑戦者がどれがどの確率であたるかしらないで、最初の二つの選択もてきとうに選ぶという問題だとすれば
2/3だと思います。

挑戦者は何も知らないから、
あたる確率でp1 > p2 >p3と名付けると最初に
P1-P2 P2-P3 P3-P1 のどれを選んだのかは分からないわけです。

これらを同等の確率で選んだとすると、あたる確率は
（この状況で最適な戦略は二つのうちの残ったほうを選ぶこと。なぜなら、挑戦者は何も情報はないから。p1+p2+p3=1で何も情報がないことを考慮してくださいな。）

(1/3)(p1+p2) + (1/3)(p2+p3) + (1/3)(p3+p1) = 2/3

(3)はxevsさんの考えとrimseさんの実験で結構一致してますね。


イさん。大正解。
（２）番は、司会者側がどんなに工夫しても、2/3なんです。
rimseさんの秘密兵器（実験）もすごいですね。

前回の実験の試行回数が少なすぎるとのお叱りを受けなかったので(?)
試行回数を1000回に増やして再実験しました。

A・Bのどちらかを開ける：84%
A・Cのどちらかを開ける：66%
B・Cのどちらかを開ける：51%

つまり、A・Bのどちらかを開けてもらって残った方を開けたときの正解率は
A+Bということになるようです。
これを踏まえると、司会者に開けてもらうようお願いしなかった箱を選んだら
普通の３択のときと正解率は変わらないようです。

※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。