数学の問題
越智月久 (2004/03/29(Mon) 13:06:42)
１ 伯父さんは数学にこだわる人で、長方形（正方形を含む）の土地ばかり
持っている。回りに幅５ｍの道路を作ったのだが、真ん中の土地の面積と
回りの道路全体の面積が等しくなければ気がすまないというのだ。さて、
この土地は縦横それぞれ何ｍにすればいいのか。この伯父さんは小数や
分数は嫌い、土地の長さは何ｍぴったりで、端数はないはずだ。
２ 叔父さんは数学にこだわる人で、１辺が100ｍの正三角形の土地を
持っている。この土地を二等分したいのだが、境目の長さを出来る
だけ短くしたいのだそうだ。例えば、頂点からまっすぐ垂線を下ろすと、
50×ルート３で、５３．６６ｍ。さあ、一番短い境目はどうすれば
いいだろう。この叔父さんは端数にこだわらないので、小数２桁まで
出してほしい。
960 (2004/03/29(Mon) 15:36:12)
１：２０×３０、１８×３５、１５×５０、
１４×６０、１２×１１０、１１×２１０（m）
なんだか沢山出てくるなぁ…
(2004/03/29(Mon) 15:55:23)
> ２ 叔父さんは数学にこだわる人で、１辺が100ｍの正三角形の土地を
> 持っている。この土地を二等分したいのだが、境目の長さを出来る
> だけ短くしたいのだそうだ。例えば、頂点からまっすぐ垂線を下ろすと、
> 50×ルート３で、５３．６６ｍ。さあ、一番短い境目はどうすれば
> いいだろう。この叔父さんは端数にこだわらないので、小数２桁まで
> 出してほしい。
５０×ルート３は８６．６０ｍのような気がしますが、
それより短くって事ですよね？
(2004/03/29(Mon) 16:15:47)
２ ５０×ルート２で７０．７ｍですかね？
xevs (2004/03/29(Mon) 18:41:06)
2.元の三角形の面積は
１００×５０×ルート３÷２＝４３３０．１２７
一つの頂点を中心とする扇形を作ってみると、
半径×半径×３．１４÷６＝２１６５．０６３５
よって半径は６４．３０
境界の長さは
６４．３０×２×３．１４÷６＝６７．３０（ｍ）
960 (2004/03/29(Mon) 19:30:06)
２：求める線分の長さをＡとする時、（式中の「/」は分数として下さい）
A×A/100×50√3÷2＝（A＋100）×（100-A）/100×50√3÷2
双方の50√3/（2×100）を除いて、
AA＝（A＋100）（100-A）
＝−AA+10000
よって、
2AA＝10000
AA＝5000
A＝50√2＝70,71←（答、単位ｍ）
960 (2004/03/29(Mon) 22:55:13)
xevsさんのが正しく思えて来た…
直線って書いてないしなぁ。
吉村 (2004/03/30(Tue) 08:42:46)
数学で解きます
１：中の土地の長さをｘｙとすると、
ｘｙ＝１０ｘ＋１０ｙ＋１００
になるので、移項して、
ｘｙ−１０ｘ−１０ｙ＋１００＝２００
ｘ（ｙ−１０）−１０（ｙ−１０）＝２００
（ｘ−１０）（ｙ−１０）＝２００
２００を因数分解すると、２の３乗×５の２乗。
約数は、１、２、４、５、８、１０、２０、２５、４０、５０、１００、２００の１２通り。答えはこれに１０を加えた数の組み合わせなので、両側から取って行けば、
１１：２１０、１２：１１０、１４：６０、１５：５０、１８：３５、２０：３０
となり、９６０さんの６通りの答えが正解で、他にはないと証明できます。
越智月久 (2004/03/30(Tue) 11:29:53)
皆さんお見事！
１は吉村さんの解説通り、960さんが正解です。
２は周囲の長さが同じ時、円が最も広い面積になるのです。
xevsさんが大正解！
（あわてて打って、数字間違いごめんなさい。）
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
