The Probability of Marbles
CHOPIN (2005/12/06(Tue) 21:04:47)
こんばんは〜。師走ということもあってか、なかなか回答者が現れませんね…
と言いつつ自分も回答してないじゃんという事態に陥っています（汗）…が２題目を出したいと思います。
１題目は年明けを目途に解答発表したいと思います。
問題
赤色のビー玉と青色のビー玉がそれぞれ１００個ずつと空の容器が２つあります。
この２００個のビー玉を２つの容器に好きなように振り分けて入れていきます。
ただし、どのビー玉も必ずどちらかの容器に入れなければなりません。
次に、２つの容器から無作為に１つ選び、その選んだ容器からビー玉を１個取り出します。
このとき、赤色のビー玉を取り出す確率を最大にするには、
赤色と青色のビー玉をどのように振り分ければよいでしょうか。
また、そのときの確率は何％くらいでしょうか。
＜おまけ＞
赤色のビー玉を取り出す確率の最小値は何％くらいですか？
＜解答方法＞
求めた確率の小数第１位を四捨五入して「○○％名前」で暗号化してください。
（ビー玉の振り分け方は問いません）
＜furthermore＞
高校数学の範囲になってしまいますが、上の話を一般化したので時間のある方は是非トライしてみてください。
ちょっと入試っぽくしてあります。
ｍを自然数の定数、ｎを自然数とする。
赤色のビー玉と青色のビー玉がそれぞれｍ個ずつあり、これらのビー玉をｎ個の容器に好きなように
振り分けて入れていく。ただし、どのビー玉も必ずどれかの容器に入れるものとする。
次に、ｎ個の容器から無作為に１個選び、その選んだ容器からビー玉を１個取り出す試行を考える。
このとき以下の問いに答えよ。
問
（１）赤色のビー玉を取り出す確率を最大にするには、赤色と青色のビー玉をどのように振り分ければよいか。
また、そのときの確率をｍ、ｎを用いて表せ。
（２）（１）の最大値をｍを用いて表せ。
＜furthermore＞については、（２）の答えのみ提示していただければ構いません。
暗号化はしてもしなくてもどちらでも結構です。
ゴドー (2005/12/07(Wed) 11:43:37)
2005/12/07(Wed) 18:30:44 編集(投稿者)
こんにちは。
[ 6cb918eac149ab5362317a2ea2ce1b95 ]
＜おまけ＞の方は、１００−（上の答え）で良いのかな。
＜furthermore＞（１）
{ 1 - m / ( n ( 2m - n + 1 ) ) } × 100
P (2005/12/07(Wed) 15:50:18)
コンニチハ〜
「2a888dbecf2b065ee6bd862d647a0080 」（すべて全角）
＜furthermore＞
（１）の確率(％抜き)
・ｎ≦ｍのとき {n-1+((m-n+1)/(2m-n+1))}/n
・ｎ＞ｍのとき m/n
>（２）（１）の最大値をｍを用いて表せ。
ｎは使わないんですか？
ためしにｎ→∞にして消してみたんですけど１か０になってｍも消えちゃう…．
単に私の答えが間違っているだけかな．
CHOPIN (2005/12/08(Thu) 18:18:57)
ゴドーさん、Ｐさん、いらっしゃいませ〜＼(≧▽≦)／
ゴドーさんもＰさんも正解です！
＜furthermore＞の（１）は表記が複雑なのにわざわざ書いて
いただいてありがとうございます（謝）
お二人とも正解です。
＜furthermore＞の（２）が鬼門でしょうか。
> ｎは使わないんですか？
> ためしにｎ→∞にして消してみたんですけど１か０になってｍも消えちゃう…．
極限は使いませんよ。数学?Tの知識があれば十分解けます。
ただ、式の見方に工夫が必要ですが…。ここでもロジックが働きます。
P (2005/12/12(Mon) 16:15:50)
ふたたび，こんにちは〜
> （２）（１）の最大値をｍを用いて表せ。
(1)で最大の確率を求めたのにその最大値を示せという意味がよくわからなかったんですが，
ビー玉の個数ｍを変えずに，容器の数ｎだけを変えた場合の最大値と解釈すると
・ｎ≦ｍのとき，ｎが大きいほど確率が大きいので，
ｎ＝ｍのとき最大で，確率は m/(m+1) ．
・ｎ＞ｍのとき，ｎが小さいほど確率が大きいので，
ｎ＝ｍ＋１のとき最大で，確率は m/(m+1) ．
したがって，ｎ＝ｍ，ｍ＋１のとき最大となり，その確率は m/(m+1) ．
CHOPIN (2005/12/24(Sat) 19:47:14)
Pさん、こんばんは〜
レスが遅れてすみませんでしたっ！
後でレスを書こうと思っていたらすっかり忘れて、いつのまにか書いた気でいました（泣）
気づかせてくれたsageストッパーさんに感謝です！
＜futhermore＞の（２）ですがみごとに正解です！
（１）も（２）も私の用意した解答とまったく同じですので、
＜futhermore＞のみ解答・解説しておきます。
厳密にいくならば場合分けした方がいいでしょう。
（１）赤色のビー玉がｍ個あるので
（イ）ｎ≦ｍのとき（つまり容器の数が赤のビー玉の個数に等しいor少ないとき）
ｎ−１個の容器に赤ビー玉のみを１個ずつ入れ、残り１つの容器に青ビー玉全部と残りの赤ビー玉を
入れれば、赤ビー玉を取り出す確率は最大になります。
このときの確率は、
(ｎ−１)／ｎ ＋ １／ｎ × ｛ｍ−(ｎ−１)｝／｛２ｍ−(ｎ−１)｝
↑ ↑ ↑ ↑
ｎ個の容器の 残り１個の 残りの赤ビー玉 この容器に入って
うち、赤ビー 容器を選ぶ の個数 いるビー玉の総数
玉のみ入って 確率
いるｎ−１個
の容器を選ぶ
確率
と表せます。
これを整理すると、
１ − ｍ／｛ｎ(２ｍ−ｎ＋１)｝ ・・・答え を得ます。
（ロ）ｎ＞ｍのとき(つまり容器の数のほうが赤のビー玉の個数よりも多いとき)
ｎ個の容器のに赤のビー玉を１個ずつ入れて、そのほかの容器に青ビー玉を入れればよい。
このとき赤ビー玉の入っている容器はｍ個あるので、求める確率は、
ｍ／ｎ ・・・答え
（２）についてはＰさんの解答とまったく同じですが、（イ）の場合について少し補足しておきます。
ｍは定数なので、固定して考えます。そうすると、ｎ(２ｍ−ｎ＋１)は
ｎについての２次関数とみることができます。ところで、ｍを固定するのですから、
１ − ｍ／｛ｎ(２ｍ−ｎ＋１)｝ は ｎ(２ｍ−ｎ＋１) の部分の値だけが変化していく
わけですが、 １ − ｍ／｛ｎ(２ｍ−ｎ＋１)｝ が最大になるには、
ｍ／｛ｎ(２ｍ−ｎ＋１)｝ が最小にならなければなりません。プラスの分数は分母が大きくなれば
なるほどその値は小さくなるので、分母である ｎ(２ｍ−ｎ＋１) が最大になるｎを求めれば
いいわけです。あとは、２次関数の最大最小問題になり、ｍ、ｎが自然数であることに注意すれば
Ｐさんの解答になるわけです。
まあ、こんなことをしなくても、１個の容器に全部詰めるより、多く（上限はあるにせよ）の
容器に振りわけたほうが確率が上がるのは当然といえば当然ですが…
CHOPIN (2006/01/09(Mon) 19:53:23)
2006/01/09(Mon) 19:54:00 編集(投稿者)
さて、時間も結構経ちましたので解答解説したいと思います。
＜furthermore＞については上で述べてありますので、ここでは割愛します。
解答：７５％ ＜おまけ＞は２５％
解説：
１つの容器に全部の赤ビー玉、もう１つの容器に青ビー玉を全部入れても、
赤ビー玉を取り出す確率を最大にすることはできません。（このときの確率は５０％）
確率を最大にするには１つの容器に赤ビー玉を１個だけ入れ、もう一つの容器に
残り９９個の赤ビー玉と青ビー玉を全部入れます。
このときの確率は、上の＜furthermore＞の（１）の式にｍ＝１００、ｎ＝２を代入すれば出ます。
実際に代入すると、
１／２ ＋ １／２ × ９９／１９９
これを計算すると、
０．７４８７４３・・・
これに１００を掛け（％表示にするため）、小数第１位を四捨五入すると７５％となります。
＜おまけ＞の問題は、赤ビー玉と青ビー玉の対称性から求まります。
赤ビー玉を青ビー玉にかえても、青ビー玉を取り出す確率の最大値は７５％です。
このとき、赤ビー玉を確率は一番小さくなります。
よって、求める確率は
１００−７５＝２５（％）
となるわけです。
考えて頂いた皆さんありがとうございました。
これで、済みです。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
