高校入試
すがり (2004/01/23(Fri) 19:21:15)
こんにちわ。
友達が某高校の入試を受けたのですが、わからないものがあったのでどなたか解いていただけませんか？
問題：
ある二桁の自然数の三乗を７７７で割るとあまりがその二桁の自然数になった。
ある自然数とは何かを求めよ。
お願いします。
siu (2004/01/23(Fri) 20:44:16)
ある二桁の自然数を●、７７７で割った商を▲とすると、
●×●×●＝７７７×▲＋●
●×●×●−●＝７７７×▲
●（●×●−１）＝３×７×３７×▲
●は二桁の自然数なので、●は、
３７、３×７、３×▲、７×▲のどれか。
あとは場合わけかなあ。
siu (2004/01/23(Fri) 21:02:24)
あ。▲、３×７×▲、３７×▲も２桁の自然数になりえる。
でもできないなあ。
間違えたかな？
きろろ (2004/01/23(Fri) 21:21:46)
（●−１）×●×（●＋１）が７７７の倍数になればいいんですね。
（●−１）、●、（●＋１）のうち１つは３７の倍数、つまり、
３７か７４。あとは当てはめ方は６とおりなので、
やってみればわかります。
ちなみに答えは３６（これだけ）です。
すがり (2004/01/23(Fri) 21:59:17)
まとめてみました。
二桁の自然数をn、777で割った商をmとすると
n×n×n=777×m＋n
n×n×n−n=777×m
n(n×n−n)=777×m
n×(n＋1)×(n−1)=777×m
ここでn×(n＋1)×(n−1)は777の倍数だから、n,(n＋1),(n−1)のいずれかは37の倍数、つまり37か74になればいい。
それぞれあてはめてみると
[n=37]37×38×36=56616 777の倍数ではないのでダメ
[(n+1)=37]36×37×35=46620 777の倍数である
[(n-1)=37]38×39×37=54834 777の倍数ではないのでダメ
[n=74]74×75×73=405150 777の倍数ではないのでダメ
[(n+1)=74]73×74×72=388944 777の倍数ではないのでダメ
[(n-1)=74]75×76×74=421800 777の倍数ではないのでダメ
よって(n+1)=37, n=36であるので二桁の自然数は36
36×36×36=46656,46656÷777=60...36
siuさん、きろろさんありがとうございました！！
友達に伝えておきます！！
/ (2004/01/24(Sat) 16:38:41)
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すがり (2004/01/24(Sat) 20:18:04)
済み
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
