小町算その３

越智月久　(2004/02/21(Sat) 07:41:15)

その１　普通の小町算

　　ｎ　×１＝□□□
　　ｎ　×２＝□□□
　　ｎ　×３＝□□□

　□に１から９までが一つずつ出るようになるｎを求めて下さい。
答えは４通り。
　
　出してはならない問題だと思いますが、折角思いついたので公開。
真面目な人はやらないで下さい。
　
　その２
　上と同じで、乗数を１２３ではなく、１２４にして下さい。

　その３
　辺が１：２の長さの長方形の紙を６枚用意します。
　その両端に、トランプのスートを、全て違う組み合わせで書きます。
　　スペード・ハート　　スペード・クラブ　　スペード・ダイヤ
　　ハート・クラブ　　　ハート・ダイヤ　　　クラブ・ダイヤ
　という６枚が出来ます。これをぐるっと一回り（１辺４）の正方形に
なるように並べ、四つの辺に全て４種類のスートが来るように並べて下
さい。



その２，その３からやりました。やらないでくださいという意味もわかりましたが、証明する方がいいんでしょうか？


ぜひ証明して下さい。


その２はその１の手がかりになるので後回しにします。
その３
○全てのマークが３つずつなので四隅に一つずつ来ます。マークを仮にアルファベットでしめします。
○一番上の４つを「ａｂ」「ｃｄ」と並べます。
○ａの下縦の一番下に来るのは（右上がｄなので）ｂかｃです。
○ｂだとするとａとの間の縦に「ｃｄ」が来るので駄目です。
○従ってａの下には「ｂｄ」、その下にｃが来ます。
○このｃは「ａｃ」か「ｂｃ」のはずですが、右下にｂが来るので「ｂｃ」は使えません。
○一番下の列は「ｃａ」「ｄｂ」でなければならないのに、もう「ｂｄ」は使っています。
以上の証明でこの問題は絶対答えが出ません。下手な説明で済みません。だれかもっと上手に証明して下さい。　


吉村さん、正解ですね。その２、その３は答えがないのです。
その３は問題はとってもきれいなんですがねえ……もったいない。
その２が証明出来たということは、その１も出来ているはずですね。


３番の「ぐるっと一回り（１辺４）の正方形」というのがよく分かりません。
できれば図表モードで教えて下さい。


その１　nx3が、9の倍数になることを考えれば、解けます。
その２　良い証明方法あるのかなあ。63で割り切れるように考えていくと...解がないことは見つけられるけど。結構な数を調べないといけない。
その３　これも、やってみるとできないんだけど、きれいに証明できないかなあ。４隅が、全部違わなくてはいけないとか、考えたけどうまくいえません。
答え期待してます。

　ごめんなさい。図表モードの使い方勉強しました。
　こんなんで。
┌──┐┌──┐
└──┘└──┘
┌┐　　　　┌┐
││　　　　││
└┘　　　　└┘
┌──┐┌──┐
└──┘└──┘
　その３は６枚のカードの両端に、スートを書いて、
図のように並べ、縦横四辺に４つのスートが来るように
しろという問題でした。

１の答え出ないようなので、出します！
まず、桁が変わらないので、一番小さい数の百の位は３まで。
一の位は１２３、２４６、３６９、４８２……９８７のどれか（５はあり得ない）。
これで残った数で十の位をうめられるかどうかを確かめました。
大学ノート１ページで全部終わりましたので、そんなに面倒じゃありません。
　２１９、４３８、６５７
　１９２、３８４、５７６
　３２７、６５４、９８１
　２７３、５４６、８１９
以上です。なお、上下それぞれ２つは桁を入れ替えただけで同じものですね。
２の方はもっと簡単でした。四倍しても３桁だから２５０未満にしか答えがないので。


吉村さんの答えが私のやり方と同じようです。
もっと手際のいいやり方思いついた方はお教え下さい。


手際がいいかどうかわからないけど。
nは、必ず3で割り切れなくてはいけない。よって、n×3は、9で割り切れる。
1の位は、５であってはいけない。n×３の百の位は、４以上で、その場合（１０のの位に）に使ってはいけない数というように、n×３を探して行くと、２５パターンに絞られ、そのうち、数が重ならないを探せばいい。

吉村さんのやり方で、nが３で割り切れるという条件を入れたら、もっと早くなりますか？


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。