数学に挑戦！　5

.com.com　(2006/03/26(Sun) 16:07:06)

2006/03/29(Wed) 16:13:18 編集(投稿者)

2006/03/29(Wed) 16:10:12 編集(投稿者)
　
「数学に挑戦！」シリーズの5回目です。
　
　
Section 1　規則を探せ！
式の規則を見つけ、8番目の式の結果を答えてください。
　
2/3_1=0.67　2/3_2=0.89　2/3_3=0.96　2/3_4=0.99
3/5_1=0.6 　3/5_2=0.72　3/5_3=0.744 1/2_4=？
(補足…今回もイジメ要素が多分あります。
　　　 なお、上段の4つの式は小数点第3位を四捨五入した近似値です。)
　
　
　
Section 2　符号を埋めろ！
■に「＋」「−」「＊」「／」の符号を埋めてください。
　
31■41■59＝26■53■58＋10
(補足…最後の10は円周率と全く関係ありません。)
　
　
　
Section 3　覆面算を解け！
　
　ＣＡＴ
＋ＤＯＧ
――――
ＰＥＴＳ
　
ＡＣＤＥＧＯＰＳＴに１〜９の数を入れてください。
このとき、ＡＣＤＥＧＯＰＳＴをお答えください。
ただし、次の条件を満たすようにすること。
　Ａ＜Ｏ　Ｃ＜Ｄ
なお、不安な方は全て埋めた式をお答えてくださっても構いません。
(補足…今回はきっと簡単です。大量の別解が出ることを期待しています。
　　　 ちなみに、Excelで覆面算の簡単な検算ができるファイルを作りました。
　　　 なので、多くの解答に対応できます。(その4で早速使用。))
　
　
　
Section 4　証明せよ！
[問題]円を2回折ったとき、折り目の交点が円の中心であることを証明せよ。
　　　ただし、折り目は互いに重ならないものとする。
　　　また、必要なら以下の語句を用いてよい。
　　　円(中心)Ｏ、折り線ＡＢ、折り線ＣＤ、折り線ＥＦ
　　　(名称をつけるとき説明は省略して構いません。
　　　　例：途中で「折り線ＡＢ」という表記を使ってOKという事。
　　　　　　「円Ｏを折った折り線をＡＢとする」などの説明は省いてOKです。
　　　 ちなみに、全角半角は指定しませんが、小文字は使わないでください。)
(補足…ごく当たり前のことを証明するという難問です。)
　
　
　
〜〜〜追記 1　誤字修正〜〜〜
またもやSec.3でした。
「Section 3　Section 3　覆面算を解け！」となってました。(笑)
　
〜〜〜追記 2　ただいまの状況〜〜〜
問題整理がほとんど終了しました。あとは、このシリーズの5と6のみです。
誠に勝手ながら両方とも終わったらしばらくは出しません。
ただ、今度出すときは両方をいっぺんに出したいと思います。

こんにちは。

Section 2　＊,＋,＊,−

今回のSection 2はいつもより難しかったです。


ゴドーさんの投稿の早さには脱帽です。(_ _)/~~~

＞今回のSection 2はいつもより難しかったです。
なるほど。今回は円周率をネタにしましたが、作るのが結構大変で。^^;
結局+10で半ばしっくり来ないという結果になりました。(-.-)


2006/03/26(Sun) 19:59:59 編集(投稿者)

今度はSection 2、Section 4に挑戦です。

Section 2
348275169,547268193,647239185,648329175,258394167,278534196,278546139,478629153

Section 4
円を折り線ＡＢで２つに分けると、それぞれ半円となる。つまり、折り線ＡＢは円の直径である。同様に、折り線ＣＤも直径である。
直径は円の中心を通るので、円の中心は折り線ＡＢ上にあり、かつ折り線ＣＤ上にある。
折り線ＡＢ上にあり、かつ折り線ＣＤ上にある点は、折り線の交点のみである。
したがって、折り目の交点が円の中心である。


2006/03/29(Wed) 17:28:19 編集(投稿者)
2006/03/29(Wed) 17:27:15 編集(投稿者)

.com.comさん、
今回もsec.4を回答しにやって参りました。
が、今回もちょっと不安…(^_^;

円Ｃ：　ｘ^2 ＋ ｙ^2 ＝１　
また、Ｃ上の点(１、０)を点Ａ、(cosα、sinα)を点Ｂ（ただし、α≠０°）とする。
このように設定しても一般性は失われない。

題意の折り線は円を重なるように折ったときの折り線だから、
点Ａを通る無数の折り線のうち、題意の折り線はｘ軸。
よって点Ｂ(-1、０)である。
　
（弦ＡＢについてＣの劣弧ＡＢを折り返してできる図形(弧ＡＢとする)を考える。（←弓形っぽい図形）
今、点Ｂを動かすと弦ＡＢの長さが変化していき、
ＡＢが直径になるとき弧ＡＢはもとの円Ｃのｙ≦０の部分とぴったり重なる。）
（↑：軌跡の話ですが、計算が面倒なので割愛しました。）

また、Ｃ上の点(cosβ、sinβ)をＰ（β≠０°、180°）とすると、Ｐを通る題意の折り線は、
点Ｑ(cos(β＋180°)、sin(β＋180°))を通る。
(?T)β≠90°、270°のとき
cos(β＋180°) ＝−cosβ、　sin(β＋180°) ＝−sinβ　だから、
折り線ＰＱの方程式は、

　　　ｙ＝（{sinβ-(-sinβ)}/{cosβ-(-cosβ)}）×(ｘ−cosβ) ＋ sinβ
整理して、
　　　 ＝(sinβ／cosβ)x

これとｙ＝０を連立すると、(sinβ／cosβ)≠０より、ｘ＝０
よって２つの折り線は原点（円Ｃの中心）で交わる。
(?U)β＝90°、270°のとき
このとき折り線ＰＱはｙ軸なので、ｘ軸と原点で交わる。

以上から、題意は示された。　　　　　　　　　　　　　　（q.e.d.）

いい別解が浮かびませんでした。頭固いなぁ…


あ、ＰＱを一般形のａｘ＋ｂｙ＝ｃで表したほうがスマートだったかな…


2006/04/05(Wed) 14:30:37 編集(投稿者)
2006/04/05(Wed) 14:28:43 編集(投稿者)
2006/04/04(Tue) 16:08:03 編集(投稿者)
　
Sec.1ヒント。
　
A/B_Cとしたとき、
1.　A/Bを元にして考える
2.　BとCの関係を考える
以上の2つを考えてみてください。
　
〜〜〜〜〜〜
追加ヒント
3.　Cは何かの累乗を表します。
　
〜〜〜〜〜〜
さらに追加ヒント
4.　次の式のどちらかを使ってください。(むしろそれが答えです。)
　　　C
　1.　??=A/BC^k
　　　k=1
　
　　　C
　2.　??=AC^k/B^C
　　　k=1
　
電卓でM(メモリー)機能がついてる場合はそれを使ってみてください。
　
参考…??(シグマ)の意味
　　　m
　　　?婆を含む式
　　　k=n
　　?蝿ﾈ下の式の総和を表します。
　　このとき、kには?狽ﾌ下にある「k=n」から始め、
　　?狽ﾌ上にある「m」までを代入し、それを合計します。
例
3
??3k
k=1
なら、3×1＋3×2＋3×3＝18となります。
なお、公式を使えば、3×{3×(3＋1)／2}=18です。
　
明日正解発表します。それまでに誰かが答えるか？


おはようございます。

残念ながらSec.1の解答者は出ませんでした。
まあ、イジメ要素があるとか言ってたから難しいと思います。
それとも皆さんが忙しかったからでしょうか？

いずれにせよ今から解答確認をするのでこれ以降の投稿は受け付けません。


2006/04/07(Fri) 20:57:19 編集(投稿者)
2006/04/06(Thu) 12:00:05 編集(投稿者)
2006/04/06(Thu) 11:41:48 編集(投稿者)
2006/04/06(Thu) 11:40:17 編集(投稿者)

答え
(ここの答えは一例です。他の答えは別解や解説を参照してください。)
Section 1　0.9375
Section 2　＊、＋、＊、−
Section 3　258394167、278546139、348275169、478629153、
　　　　　 547268193、647239185、648329175
Section 4　解説参照
　
別解
Section 1　なし
Section 2　なし
Section 3　278534196
Section 4　解説参照
　
解説
　
Section 1
　
A/B_Cのとき、A/B^1+A/B^2+……A/B^C
　
[説明]
2/3_1＝2/3=0.67
2/3_2＝2/3+2/9=8/9=0.89
2/3_3＝2/3+2/9+2/27=26/27=0.96
2/3_4＝2/3+2/9+2/27+2/81=80/81=0.99
3/5_1＝3/5=0.6
3/5_2＝3/5+3/25=18/25=0.72
3/5_3＝3/5+3/25+3/125=93/125=0.744
1/2_4＝1/2+1/4+1/8+1/16=15/16=0.9375
　
Section 2
　
[答えを入れた式]
31＊41＋59＝26＊53−58＋10＝1330
　
Section 3
　
[答えを入れた式]
ＣＡＴ＋ＤＯＧ＝ＰＥＴＳ
５２７＋８４９＝１３７６
７２９＋８４９＝１５９３
４３９＋８５７＝１２９６
７４３＋８９２＝１６３５
４５３＋７８６＝１２３９
４６５＋７９３＝１２５８
４６５＋８９２＝１３５７
７２６＋８４３＝１５６９(ゴドーさん)
　
Section 4
　
[解答例]
折り目ABは円の直径となるので、ABは中心Oを通る。
同様にCDも中心Oを通る。
また、ABとCDの交点はABとCDの共通部分である。……(1)
ABとCDは両方とも円の中心Oを通るので、
円の中心はABとCDの共通部分である。……(2)
(1)(2)より、ABとCDの交点は中心Oとなる。
　
[解説]
直径が円の中心を通り、2つの直径の共通部分は円の中心であることを示す方法。
ゴドーさんはこのやり方でした。
　
[別解　(CHOPINさん)]
No.55080を参照
　
部分的な解説
(1)
＞円Ｃ：　ｘ^2 ＋ ｙ^2 ＝１　
＞また、Ｃ上の点(１、０)を点Ａ、
＞(cosα、sinα)を点Ｂ（ただし、α≠０°）とする。
これは円の公式です。また、Aの座標を1つに固定し、Bを変数にします。
(2)
＞点Ａを通る無数の折り線のうち、題意の折り線はｘ軸。
＞よって点Ｂ(-1、０)である。
これでABの座標が決まりました。
(3)
＞（弦ＡＢについてＣの劣弧ＡＢを折り返してできる図形
＞(弧ＡＢとする)を考える。（←弓形っぽい図形）
＞今、点Ｂを動かすと弦ＡＢの長さが変化していき、
＞ＡＢが直径になるとき弧ＡＢはもとの円Ｃのｙ≦０の部分とぴったり重なる。）
劣弧とは短い方の長さの弧です。(Wikipediaで検索)
これを折り返すと弧ABは円の中に入り、
ABが円の直径になると反対側とぴったり重なるという事です。
(4)
＞また、Ｃ上の点(cosβ、sinβ)をＰ（β≠０°、180°）とすると、
＞Ｐを通る題意の折り線は、
＞点Ｑ(cos(β＋180°)、sin(β＋180°))を通る。
PQを設定します。なお、β＝０°、180°はABと重なるため不適。
(5)
＞(?T)β≠90°、270°のとき
＞cos(β＋180°) ＝−cosβ、　sin(β＋180°) ＝−sinβ
これは定義です。
(6)
＞折り線ＰＱの方程式は、
＞　ｙ＝（{sinβ-(-sinβ)}/{cosβ-(-cosβ)}）×(ｘ−cosβ) ＋ sinβ
＞整理して、
＞　　＝(sinβ／cosβ)x
最初の( )は傾きで、残りはP(cosβ、sinβ)に対応します。
　（ｙ− sinβ）＝（{sinβ-(-sinβ)}/{cosβ-(-cosβ)}）×(ｘ−cosβ)
を移項したものです。
(7)
＞これとｙ＝０を連立すると、(sinβ／cosβ)≠０より、ｘ＝０
＞よって２つの折り線は原点（円Ｃの中心）で交わる。
β≠0°,90°,180°,270°なのでsinβ、cosβのいずれも0ではありません。
また、ｙ＝０(AB)と連立方程式を立てています。
　０＝(sinβ／cosβ)x
なのでｘ＝０です。
(8)
＞(?U)β＝90°、270°のとき
＞このとき折り線ＰＱはｙ軸なので、ｘ軸と原点で交わる。
x軸とy軸の交点は原点です。
　
[解説]
毎回ながらCHOPINさんの答えには脱帽ですm(_ _)m
これも正解です。
　
　
　
　
[正解者]
Section 1　なし
Section 2　ゴドーさん
Section 3　ゴドーさん
Section 4　ゴドーさん、CHOPINさん
　
次のその6で一旦打ち切りです。
新ネタは今のところSec.4の1問だけですが、きっとすぐに公開できると思います。
とりあえずはその6をどうぞ！

〜〜〜追記 1〜〜〜
解説の修正の際、Sec.4の部分的な解説以降が灰字になるので通常モードにしました。
　
〜〜〜追記 2〜〜〜
解決済みのチェックを忘れてました(汗)。


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。