世紀末その５
越智月久 (2003/10/07(Tue) 14:11:57)
いよいよ１９９９年
?@ １９９９にある数字を掛けて、答えには１と９以外の数字が
現れないようにしたい。
１９９９× １ ＝ １９９９
１９９９×１０００１ ＝ １９９９１９９９
さて、この次に大きいものを探して下さい。
?A １９９９に整数を掛けて、答えに「１９」だけが繰り返される
ようにして下さい。さて、答えに「１９」が幾つ並ぶでしょうか。
もちろん、最小のものを一つだけ答えれば結構ですよ。
１９９９
× ？？……？？
−−−−−−−−−−−
１９……１９１９１９
ぜひ手で計算して下さい。コンピューターなどに頼らないように……
アト (2003/10/08(Wed) 21:14:19)
?@やり方がわかりません（ＴＴ）
?Aがんばってみましたけど・・・答えが９１９……９１９じゃダメですか？（汗
１９９９×45阿僧祇98258725322257088140029610764978448820369780850020970081
＝９那由他１９１９……１９１９
kana (2003/10/09(Thu) 19:56:07)
?@そのまんま考えると・・。
100010001
ですよね。確か９の段は一の位に１〜９が全部あるんですよね。
その中で９×X の一の位が９、１になるのはＸ＝９、１のときだけで、試しに９９９９９にかけてみたんですけど、数字めちゃくちゃっすね。
だから普通に
１０００１０００１×１９９９＝１９９９１９９９１９９９
かなぁと。一応計算したんですよぉ!?
あ。でもこれはこの問題の引っ掛け点だったりします？
越智月久 (2003/10/11(Sat) 18:23:02)
kanaさん、?@について先にネタを明かしておくと、１０００１と
１０００１０００１の間に２つの答えがあるのです。
アトさん、?Aは「１９」の繰り返しなので、「９」からでは駄目
です。
皆さん、頑張って下さい。
カナルシスト (2003/10/13(Mon) 13:31:52)
?@1999×4962081＝9919199919
> kanaさん、?@について先にネタを明かしておくと、１０００１と
>１０００１０００１の間に２つの答えがあるのです。
のもう一つは、
1999×60026009＝119991991991
かな？
オリオン (2003/10/13(Mon) 21:15:55)
?A一応手計算でやったんで合ってるか分かりませんが…
1999×9600795997594756974446819369780850020970081
＝1919191919191919191919191919191919191919191919
つかれました…
越智月久 (2003/10/14(Tue) 06:28:25)
?@1999×4962081＝9919199919
カナルシストさん、正解です。
「60026009」はチェックもれでした。ありがとう。
もう少し小さい数で別解があります。
?Aオリオンさん、残念。下から18〜20桁くらいのところでミスってます。
おとと (2003/10/20(Mon) 16:39:08)
1999*M=19191919....19となるMおよび19の個数を求めるわけだが、
1999は19で割りきれないからM/19をNとおいて、
1999*N=10101010...01 という式で考えても同じことである。
つまり
1999*N=(100^n - 1)/99となるnを求める問題になる。
これは 100^n-1=0 (mod 1999*99)と同値だが、
100^n - 1は常に99で割りきれるから
100^n=1 (mod 1999)となるnを求める問題になる。
さて 1999は素数だから 体(Z/1999Z)の単元群における
100の位数を求める問題になるが、
体(Z/1999Z)の単元群は元の個数1998だから
候補としては 1998の約数だ。
1998は2*3*3*3*37だから
約数は小さいほうから
2,3,6,9,18,27,37,54,74,111,222
100^2 を1999で割ったあまり 5
100^3 を1999で割ったあまり 500
100^6 を1999で割ったあまり 125
100^9 を1999で割ったあまり ＝125*500を1999で割ったあまり=531
100^18 を1999で割ったあまり ＝531*531を1999で割ったあまり=102
100^27 を1999で割ったあまり ＝102*531を1999で割ったあまり=189
100^37 を1999で割ったあまり ＝102*102*100を1999で割ったあまり=920
100^54 を1999で割ったあまり ＝189*189を1999で割ったあまり=1738
100^74 を1999で割ったあまり ＝920*920を1999で割ったあまり=823
100^111 を1999で割ったあまり ＝823*920を1999で割ったあまり=1538
100^222 を1999で割ったあまり ＝1538*1538を1999で割ったあまり=627
100^333 を1999で割ったあまり ＝1538*627を1999で割ったあまり=808
100^666 を1999で割ったあまり ＝808*808を1999で割ったあまり=1190
100^999 を1999で割ったあまり ＝1190*808を1999で割ったあまり=1
ふぅ、、ということは1999*N=10101010...101となるとき、
101010...01に1が999個ならぶ。つまり
1999*M=191919191919....19となるとき 19は999個並ぶ。
ぉｓｔ (2003/10/20(Mon) 20:52:28)
mutukashisuginちゃう？
越智月久 (2003/10/21(Tue) 07:32:49)
おととさん、すごい！
私は下１桁から順にやって答えを出したのですが、
これだけ数学的に解かれると、出した方もうれしい！
この問題は１９９９年のパズル全日本選手権で公開、
「kazu-number」と命名されました。
ついでに2001から2121……21もやってみてね。
こちらはたった300桁を越えたところで答えがでます。
正解
１９９９ × ９６００ ７５９９７ ５９４７５ ６９７４４ ４６８１９
３６９２８ ０５９９８ ９５９０７ ５４９７３ ４４６３１ ９１１９１
５５５３７ ３６４６４ １９１６９ １８０５４ ９８７０８ ９５０４３
４８１３３ ６６２７９ ０９９１４ ５５３２３ ６２１４０ ６６６２９
２７４２３ ３０７６１ ３４０２６ ６０９２６ ４２２８０ ７３６３２
７７５９８ ３９５１５ ７１７４５ ４６８６９ ３９４２９ ３１０６１
４９０３４ １１３０１ ６１０４０ １１６０１ ７６０４７ ６１９７６
９４８０６ ９９９４５ ９３２５６ ２２４０７ １６３１７ ７５４８３
７０１４４ ６６８２９ ３７４２８ ３１０１１ ４６５３２ ８６２３９
０７９１３ ５５２７３ ５９６３９ ４１５６６ ７４２９６ ７４４３３
１７６１８ ４０５１６ ２１７７０ ４８１２０ ０１９６０ ５７６２４
７７１９８ １９５０５ ７１２４５ ２１８５６ ８８８０３ ９９７９５
８５７５２ ４７２１９ ５６９３８ ０６４９９ ２０９２０ ０５５９８
７５８９７ ５４４７３ １９６１９ ４０５６６ ２４２７１ ７３１８２
５５０８７ １３９５２ ９３６０６ ３９９１５ ９１７５５ ４７３６９
６４４４１ ８１６８６ ８０２９９ ７４５８３ ２５１２２ １５７０３
８１１５０ １７１０４ ５１１８５ １８８５５ ３８７２８ ９６０４３
９８１５８ ６７５２９ ７２４４５ ８１８８６ ９０３０４ ７４８３３
４７６２８ ４１０１６ ４６７８２ ９８７４５ ３３２２６ ２０９０６
４１２８０ ２３６０７ ７６３４７ ７６９８４ ４５１８２ １８７０５
３１２２５ ２０８５６ ３８７７８ ９８５４５ ２３２２１ ２０６５６
２８７７３ ９８２９５ １０７１４ ９５３４３ ６３１４１ １６６５４
２８６７３ ９３２９２ ６０５８９ ８９０９０ ５０４８４ ８３８３７
８７８５３ ５２２７２ ０９５６４ ３７８１４ ８６７０２ ９４７４３
３３１２６ １５９０３ ９１１５５ １７３５４ ６３６９１ ４４１６８
０４３６１ ７７６８４ ８０１９９ ６９５８０ ７４９９７ ０９４５０
６８４９３ ８４２８８ １０３６４ ７７８３４ ８７７０３ ４４７６８
３４３７６ ７８４３５ １７７１８ ４５５１８ ７１８９５ ５４３７３
１４６１６ ９０４４１ １８０１８ ６０５２６ ２２２７０ ７３１３２
５２５８５ ８８８９０ ４０４７９ ８３５８７ ７５３４７ ２６９５９
４３９３１ ５６１７４ ０４６６１ ９２６９２ ３０５７４ ８８３４０
１２９６６ ０７８９９ ９０９５５ ０７３４９ ６３４４１ ３１６６１
７９０４９ １２０５１ ９８５５８ ８７５３９ ７２９４６ ０６８９９
４０９３０ ０６０９９ ００９１０ ０５０９８ ５０８８５ ０３８４７
８８３５３ ７７２８４ ６０１８９ ６９０８０ ４９９８４ ５８８２５
３７２２８ ２１００６ ４６２８２ ７３７３２ ８２６００ ８９６４０
７７９９８ ５９５２５ ７２２４５ ７１８８１ ９００５４ ６２３２７
１２３１５ ７５３８３ ６５１４２ １６７０４ ３１１７５ １８３５５
１３７１６ ４５４１８ ６６８９３ ０４２４８ ０８３６３ ７７７８４
８５２０２ １９７０５ ８１２５０ ２２１０７ ０１３１０ ２５１０８
５１３８５ ２８８６０ ３８９７９ ０８５５０ ２３４７１ ３３１６２
５４０８６ ６３９２７ ９２３５５ ７７３８４ ６５１９２ １９２０５
５６２３７ ７１４８１ ７００４４ ６１８２６ ８７３０３ ２４７５８
２２８７６ ５３４２２ ６７０９３ １４２５３ ０８６１３ ９０２９１
１０５１４ ８５３３８ ６２８９１ ０４１４８ ０３３６１ ２７６５９
７８９４９ ０７０４９ ４８４３３ ８１２８６ ６０２８９ ７４０８３
００１０９ ６５０７８ ４９８８４ ５３８２２ ８７１０３ １４７５３
３３６２６ ４０９１６ ４１７８０ ４８６２０ ２６９７３ ０８２５０
０８４６３ ８２７８７ ３５３２７ ２５９５８ ９３９０６ ５４９２３
４２１３０ ６６１２９ ０２４１０ ８０１３６ ０２７６０ ９７６４４
７８１９８ ６９５３０ ７２４９５ ８４３８８ １５３６７ ２７９５９
９３９５６ ５７４２４ ６７１９３ １９２５５ ５８７３８ ９６５４４
２３１７１ １８１５５ ０３７１１ ４５１６８ ５４３８６ ７８９３５
４２７３０ ９６１４４ ０３１６１ １７６５４ ７８６９８ ９４５４３
２３１２１ １５６５３ ７８６４８ ９２０４１ ９８０５８ ６２５２７
２２３２０ ７５６３３ ７７６４８ ４２０１６ ９６８０７ ９９９９５
９５７５７ ４７４６９ ６９４４４ ３１８１１ ８６５５２ ８７２３９
５７９３８ ５６５２４ ２２１７０ ６８１３０ ０２４６０ ８２６３７
２７８２３ ５０７７１ ３４５２６ ８５９３８ ９２９０６ ０４８９８
４０８８０ ０３５９７ ７５８４７ ５１９７１ ９４５５６ ８７４３９
６７９４３ ５６７７４ ３４６７６ ９３４４２ ６８０９３ ６４２７８
０９８６４ ５２８２２ ４７０７８ １３５０２ ７１０９５ １４３５３
１３６１６ ４０４１６ １６７６７ ９７９９４ ９５７０７ ４４９６８
４４３８１ ７８６８５ ３０２２４ ７０８３１ ３７５２８ ３６０１３
９６６５７ ９２４９２ ２０５６９ ８８０９０ ００４５９ ８２５８７
２５３２２ ２５７０８ ８１４００ ２９６１０ ７６４９７ ８４４８８
２０３６９ ７８０８５ ００２０９ ７００８１
これで１９が９９９回繰り返されます。
※ 問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。
