無限

扇風機　(2004/01/11(Sun) 08:46:26)

ここに「∞」という数がある。
「∞から１を引く」という式「∞−１」をつくる。「∞−１」の解をｘとする。
１という定数を引くのだから、ｘは有限の数である。
「∞」は、「ｘ＋１」の解である。
有限の数に１を足すのだから、∞＝有限となる。
∞＝有限が成り立てば、「∞」に数を足したり引いたりすることも可能になる。

最近たまに考えるのですが、どこがおかしいのでしょうか？


「∞から１を引く」という式そもそもがありえないような気がします。
式が成り立てば、「∞」は「∞」でなくなると思うんですが…


そもそも、∞は数(数値)なのですか？
自分でもよく分かってなくてすいませんが。


>１という定数を引くのだから、ｘは有限の数である。
取り敢えずここがおかしい。
∞からどんな実数を引いても有限にはならないはず。

-∞<a<∞の実数aに対して、
z-a→z（z→∞）

親問題では、a=1,x=z-a
すなわち、xは無限であって、有限ではない。

無限と言うのは有限の数とは比べ物にならないくらい大きいから、
1やら2足したり引いたくらいは微差なので変わらないと考えれば良いかと思います。


分かりやすく黒石と白石で説明します。
袋の中に∞個の黒石、１個の白石があるとします。（厳密にはこの表現も間違いですが、あくまで仮定として捕らえてください。）

（∞−１）は白石を取り出すのと同じ意味です。

袋の中の黒石の割合は０．９９９…　（無限に続きます。）

ここで
１/３＝０．３３３…　（無限に続きます。）
３×０．３３３…＝０．９９９…　（無限に続きます。）

しかし
０．３３３…＝１/３なので

３×０．３３３…＝３×１/３
０．９９９…＝１

よって黒石の割合は１と等しい。
つまり白石が存在しないものと同じだと言えます。

このことから（∞−１）＝∞となり
（∞−１）＝ＸにおいてＸは有限であるという文は否定されます。



高校数学の『極限』を用いるともっと簡単で、数学的な証明になりますが
記号の書き込み方が分からなかったので別の方法で解きました。(^^;


やっぱり『極限』の計算も書いておきます。
こっちの方が分かるっていう人も居るかもしれないので。
式や言葉の意味は教科書等を参考にして下さい。(^^;

上記の黒石と白石の例を使います。
とりあえずここでは
?倍∞}{n=1}Ｆ(n)はＦ(n)という式のｎ＝１からｎ＝∞までの総和を表します。
１０＾ｎは１０ｎ乗を表します。
＊は掛け算、/は割り算です。

0.999…＝0.9+0.09+0.009…
　＝?倍∞}{n=1}(9/10)*(1/(10^n-1))　　←?@
これは初項9/10、公比1/10の無限等比級数である
ここで9/10≠0、|1/10|＜1より?@は収束する
よって?@＝(9/10)/(1-(1/10))
　　　　＝1
∴0.999…＝1

よって黒石のみと同意。理由は上記と同じ。
無限から有限を一つ取り出しても無限のままです。


「１０ｎ乗」ではなく「１０のｎ乗」です。すいません。


それと補足ですが
∞−∞≠０で
∞−∞＝∞です。

∞を数字として扱うことは出来ないようです。



∞は足したり引いたりできますがどんな有限な数字を足しても引いても∞だと思います。


冥探偵さんの[5928] Re[7]: 無限について、
>∞−∞≠０で
>∞−∞＝∞です。
こんな定義はなかったと思います。
（単純に知らないだけかもしれないけど）

高校で習ったものは、
a,bがある時、
a=b+cならば、（-∞<c<∞）
b→∞の時、a→∞
これに対して、a-b=b+c-b=c→c（b→∞）
すなわち、無限大同士の差が有限となる。
また、a=bdならば、（1<d<∞）
b→∞の時、a→∞
これに対して、a-b=bd-b=b(d-1)→∞（b→∞）
すなわち、無限大同士の差が無限大となる。
ちなみに、-∞<d<1ならば、a-b→-∞（b→∞）

（編集しました。dの範囲は1より小さいか大きいかでした。
d=1なら、a-b=0→0（b→∞））


なんだか面白そうなスレが出来ましたね^^
冥探偵さんの「０．３３３３と１／３」の話は、ピーター・フランクルが小学生の時に発見して、それを教師に話し、馬鹿にされたという話を聞いたことがあります。(まったくの余談ですが…)
さて、僕は数学の素養がなく、皆さんの計算式のいくつかはよく判らないのですが、自分も以前、扇風機さんと同じ事を考えたことがあります。その中で強引ながら自分なりに考えたことを書かせていただきます^^
あくまでも自分なりの解釈なので、疑問に思うところがあると思います。
そんな方は…許して下さい^^;;;;;;;;;

まず、「∞」という言葉を現実の物に置き換えます。私の中で、置きかえられるのは2つです。
それは「時間」と「宇宙」です。ただ「宇宙」を例にすると話が飛躍しそうなので、ここではもう一つの「時間」を題材にして考えてみたいと思います。
※扇風機さんの言葉をある程度引用させていただきます。
>ここに「∞」という数がある。
つまりは時間の流れが存在していることです。
>「∞から１を引く」という式「∞−１」をつくる。「∞−１」の解をｘとする。
時間の流れから１を引く(ここでは１分とする)
一応今を基準にすると、今から１分間を経過することで、時間の流れから１分引いたことにします。するとその残りがＸになる。Ｘはその後の時間の流れになります。
今これを見ている人が、１分経った後にこの先の時間を考えてもやはり時間の流れは時間の流れ、永遠に続いていくものなのではないかと思います。
つまり何が言いたいのかといいますと、
「∞―１＝∞」ということになります。もしも無限を式で表すのならばこうなるのではないのでしょうか？もし数字で表すのなら０が一番近いのですが･･･


　私は∞というのは概念であり数字ではないと思いますが、どうなんでしょう？


∞−１＝Ｘ　Ｘ＝∞　∞−∞＝分からない
∞＋１＝Ｘ　Ｘ＝∞　∞＋∞＝∞
わけわかんねぇ〜


> それと補足ですが
> ∞−∞≠０で
> ∞−∞＝∞です。

これは少し言い方が間違ってました。(^^;ゞ
後の方に訂正を書きます。

『無限大とはどんな数よりも大きな数』が定義です。
厳密には「ａ＝∞とは任意のＸ＞０に対してａ＞Ｘとなる数」です。
つまり具体的な数値ではないのです。
だから二つ以上∞があるとき、それらに大小関係はありません。
値がないのに大小関係を比べることは出来ないからです。「∞＝∞ではない」のです。

よって無限大の計算も以下のようになります。（Ｘは無限大でない具体的な数値とします。）

∞＋Ｘ＝Ｘ＋∞＝∞
∞＋∞＝∞
∞＋（−∞）は解なし。（大小関係が無いため無意味）

∞−Ｘ＝∞
Ｘ−∞＝−∞
∞−∞は解なし。（大小関係が無いため無意味）

∞/Ｘ＝∞（但しＸ≠０）
∞/０は解なし。（Ｘ/０は定義されない　０/０は無意味）
Ｘ/∞＝０
∞/∞は解なし。（大小関係が無いため無意味）

∞×Ｘ＝∞
∞×０は解なし。（∞×0=∞×(1/∞)=∞/∞よって無意味）


無限大は値でなく、どんな数値よりも大きいという【概念】または【状態】です。
だから非常に特殊な存在なので全ての数学に使用可能という訳ではないようです。

数学は量そのものを定義しません。
数学は量の相違や和・積を定義し、その定義を使って量に数学的性格をつけていくもの。

無限大とは定義できない量なので数学においては『どんな数よりも大きな数』という感覚で十分です。
無限大に拘るとそれは数学ではなく哲学の分野になりますよ。(^-^)


先生が面白いことをやっていたので……
　整数と偶数はどちらが大きいか。

ア　整数は奇数と偶数が交互に並んでいるので、
　整数は偶数の２倍ある。
イ　全ての整数は、２倍すると偶数になる。
　１対１で対応するので、同じ数だけある。

アの答えは有限範囲の、イは無限の範囲の説明に
なるというのですが……

越智月久さん、濃度の話ですね。
以下URLのページより、

君たちは偶数と奇数は知っているね。自然数に限れば2, 4, 6, . . . が偶数，1, 3, 5, . . . が奇数と
いうことになる。ものの集まりを集合と呼ぶことにして，偶数の集合をE，奇数の集合をO，そ
して自然数の集合をN で表せば
E + O = N (1)
であることが想像できる。でも，残念ながら違う。想像が事実に合わないことはよくある話。(1)
は偶数や自然数のような，無限集合にはそぐわない関係なのだ。それについてカントールは次の
ように説明している。
例えば“りんごが5 つある” とは，各りんごに自然数1, 2, 3, 4, 5 が一対一に対応していると見
る。このとき，りんごの数(かず) は5 に等しいと言える。同様のことを偶数と自然数で考えてみ
よう。すると
偶数　２　４　６　８　10 ・ ・ ・
　　　↑　↑　↑　↑　↑
　　　↓　↓　↓　↓　↓
自然数１　２　３　４　５ ・ ・ ・
のように，各偶数に自然数1, 2, 3, 4, 5, . . . が一対一に対応していることになる。従って偶数と自
然数は同じ数(かず) だけある，と考えるわけだ。このときに数(かず) ということばは適切でない
ように思えるので，カントールは濃度という用語を使っている。すると奇数に対しても，奇数と自
然数は同じ濃度を持つと言えるのだ。
この用語はまったくもって適切で，われわれの生活感覚にも合っている。なぜなら，同じ濃度の
食塩水を混ぜると，同じ濃度を持つ食塩水ができるのだから。そして食塩水の“量” も増えている
ので，自然数も偶数だけの“量” に比べると，きっと奇数の分だけ“量” が増えているんだろう。

物凄く余談ですが、
2月号の『ニュートン』に
色々と掲載されました。図書館とかで見るといいかも。


※　問題中に使用されている人名、地域名、会社名、組織名、製品名、イベントなどは架空のものであり、実在に存在するものを示すものではありません。